Uprość sumę kombinacji o tym samym n, wszystkie możliwe wartości k

Czy istnieje sposób na uproszczenie tego równania?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Lub bardziej ogólnie

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics Idr
źródło

Lodziarnia produkuje lody bez smaku, a następnie dodaje jeden lub więcej 5 koncentratów smakowych (wanilia, czekolada, krówki, mięta, jamoca), aby stworzyć różne lody dostępne do sprzedaży w sklepie. Tak więc liczba różnych smaków to

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ . Spróbuj ręcznie obliczyć liczbę smaków. Aby uzyskać dodatkowy kredyt, zidentyfikuj sklep.

Dilip Sarwate,

Odpowiedzi:

Widzieć

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

który mówi

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Możesz to udowodnić za pomocą twierdzenia dwumianowego, gdzie . $x=y=1$

Teraz, ponieważ dla dowolnego , wynika z tego $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

W twoim przypadku , więc odpowiedź to . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

Makro
źródło

Dzięki. Próbowałem wymyślić wszystkie możliwe zestawy cech wejściowych dla regresji, więc mój umysł zaczyna się od statystyk, ale przypuszczam, że to pytanie nie jest statystykami per se.

Idr

Nie ma problemu. Proszę rozważyć głosowanie i / lub przyjmowanie odpowiedzi, które okazały się pomocne :)

Makro

Oczywiście. Również uważam, że twoje ja powinno być k.

Idr

masz rację - naprawiono.

Makro

Łatwy sposób to zobaczyć: weźmiesz każdy element (1) lub nie (0). Możesz więc przedstawić całą liczbę binarną za pomocą n bitów: 2 ^ n. A to oznacza całą kombinację z usuniętym jednym przedmiotem plus wszystkie kombinacje z usuniętymi 2 przedmiotami itd. = Suma C (k / N).

Snicolas,

Praca domowa?

Wskazówka:

Zapamiętaj twierdzenie dwumianowe:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Teraz, jeśli możesz po prostu znaleźć xiy, aby było stałe ... $x^ky^{n-k}$

Erik
źródło