Jak pobrać pochodną wielowymiarowej gęstości normalnej?

Powiedzmy, że mam wielowymiarową normalną gęstość . Chcę uzyskać drugą (częściową) pochodną wrt . Nie wiem, jak pobrać pochodną macierzy.$N(\mu, \Sigma)$$\mu$

Wiki mówi, że weź pochodną element po elemencie do matrycy.

Pracuję z aproksymacją Laplace'a Tryb to .Θ =

$$\log{P}_{N}(\theta)=\log {P}_{N}-\frac{1}{2}{(\theta-\hat{\theta})}^{T}{\Sigma}^{-1}(\theta-\hat{\theta}) \>.$$
$\hat\theta=\mu$

Dostałem jak do tego doszło?

$${\Sigma}^{-1}=-\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\theta }^{2}}}\log p(\hat{\theta }|y),$$

Co zrobiłem:

$$\log P(\theta|y) = -\frac{k}{2} \log 2 \pi - \frac{1}{2} \log \left| \Sigma \right| - \frac{1}{2} {(\theta-\hat \theta)}^{T}{\Sigma}^{-1}(\theta-\hat\theta)$$

Więc biorę pochodną wrt do , po pierwsze, jest transpozycja, po drugie, jest to macierz. Więc utknąłem.$\theta$

Uwaga: jeśli mój profesor się z tym spotka, mam na myśli wykład.

W rozdziale 2 Matrix Cookbook znajduje się niezły przegląd rachunku macierzy, który daje wiele przydatnych tożsamości, które pomagają w rozwiązywaniu problemów związanych z prawdopodobieństwem i statystykami, w tym regułami, które pomagają rozróżnić wielowymiarowe prawdopodobieństwo Gaussa.

Jeśli masz losowy wektor który jest wielowymiarowy normalny ze średnim wektorem i macierzą kowariancji , użyj równania (86) w książce kucharskiej macierzy, aby ustalić, że gradient prawdopodobieństwo dziennika w odniesieniu do wynosiμ Σ L ${\boldsymbol y}$${\boldsymbol \mu}$${\boldsymbol \Sigma}$${\bf L}$${\boldsymbol \mu}$

$$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \mu}} &= -\frac{1}{2} \left( \frac{\partial \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right) }{\partial {\boldsymbol \mu}} \right) \nonumber \\ &= -\frac{1}{2} \left( -2 {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right) \right) \nonumber \\ &= {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \end{align}$$

Pozostawiam tobie, abyś to ponownie rozróżniał i znalazł odpowiedź na: .$-{\boldsymbol \Sigma}^{-1}$

Jako „dodatkowy kredyt” użyj równań (57) i (61), aby stwierdzić, że gradient względem wynosi${\boldsymbol \Sigma}$

$$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \Sigma}} &= -\frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \log(|{\boldsymbol \Sigma}|)}{\partial{\boldsymbol \Sigma}} + \frac{\partial \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y}- {\boldsymbol \mu}\right) }{\partial {\boldsymbol \Sigma}} \right)\\ &= -\frac{1}{2} \left( {\boldsymbol \Sigma}^{-1} - {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \right) \end{align}$$

Pominąłem wiele kroków, ale wykonałem to wyprowadzenie, używając tylko tożsamości znalezionych w macierzowej książce kucharskiej, więc zostawię to tobie, aby wypełnić luki.

Użyłem tych równań punktowych do oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa, więc wiem, że są poprawne :)

Musisz upewnić się, że odpowiednio zajmujesz się powtarzającymi się elementami w , w przeciwnym razie twoje pochodne będą niepoprawne. Na przykład (141) Matrix Cookbook podaje dla symetrycznego następujące pochodne$\mathbf{\Sigma}$$\mathbf{\Sigma}$

$$\begin{align} \frac{\partial \log|\mathbf{\Sigma}|}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=2\mathbf{\Sigma}^{-1}-(\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) \end{align}$$

I (14) Zróżnicowanie funkcji macierzy kowariancji daje

$$\begin{align} \frac{\partial \textrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top)}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=-2\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}+(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) \end{align}$$

gdzie oznacza produkt Hadmarda i dla wygody zdefiniowaliśmy .$\circ$$\mathbf{x}:=\mathbf{y}-\mathbf{\mu}$

Zwróć uwagę, że nie jest to to samo, co gdy nie jest narzucona symetryczność . W rezultacie mamy to$\mathbf{\Sigma}$

$$\begin{align} \frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=-\frac{\partial }{\partial \mathbf{\Sigma}}\frac{1}{2}\left(D\log|2\pi|+ \log|\mathbf{\Sigma}| + \mathbf{x}^{\top}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x})\right)\\ &=-\frac{\partial }{\partial \mathbf{\Sigma}}\frac{1}{2}\left( \log|\mathbf{\Sigma}| + \textrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\left( 2\mathbf{\Sigma}^{-1}-(\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) -2\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}+(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I)\right) \end{align}$$

gdzie oznacza wymiar , i oraz pochodnąwynosi 0$D$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$\mathbf{\mu}$$D\log|2\pi|$

Zapewnia to, że element elementu odpowiada .$i,j^{th}$$\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}}$$\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}_{ij}}$

Próbowałem komputerowo zweryfikować odpowiedź @ Macro, ale znalazłem drobny błąd w rozwiązaniu kowariancji. Uzyskał Jednak wydaje się, że poprawne rozwiązanie to w rzeczywistości Poniższy skrypt R stanowi prosty przykład, w którym różnicę skończoną oblicza się dla każdego elementu . To pokazuje, żeB=2A-diag(A)ΣA

$$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \Sigma}} &= -\frac{1}{2} \left( {\boldsymbol \Sigma}^{-1} - {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \right) ={\bf A} \end{align}$$ $${\bf B}=2{\bf A} - \text{diag}({\bf A})$$ ${\boldsymbol \Sigma}$${\bf A}$zapewnia poprawną odpowiedź tylko dla elementów ukośnych, podczas gdy jest poprawny dla każdego wpisu.${\bf B}$

library(mvtnorm)

set.seed(1)

# Generate some parameters
p <- 4
mu <- rnorm(p)
Sigma <- rWishart(1, p, diag(p))[, , 1]

# Generate an observation from the distribution as a reference point
x <- rmvnorm(1, mu, Sigma)[1, ]

# Calculate the density at x
f <- dmvnorm(x, mu, Sigma)

# Choose a sufficiently small step-size
h <- .00001

# Calculate the density at x at each shifted Sigma_ij
f.shift <- matrix(NA, p, p)
for(i in 1:p) {
  for(j in 1:p) {
    zero.one.mat <- matrix(0, p, p)
    zero.one.mat[i, j] <- 1
    zero.one.mat[j, i] <- 1

    Sigma.shift <- Sigma + h * zero.one.mat
    f.shift[i, j] <- dmvnorm(x, mu, Sigma.shift)
  }
}

# Caluclate the finite difference at each shifted Sigma_ij
fin.diff <- (f.shift - f) / h

# Calculate the solution proposed by @Macro and the true solution
A <- -1/2 * (solve(Sigma) - solve(Sigma) %*% (x - mu) %*% t(x - mu) %*% solve(Sigma))
B <- 2 * A - diag(diag(A))

# Verify that the true solution is approximately equal to the finite difference
fin.diff
A * f
B * f