Jaka jest różnica między PCA a asymptotycznym PCA?

W dwóch artykułach z 1986 i 1988 r. Connor i Korajczyk zaproponowali podejście do modelowania zwrotów z aktywów. Ponieważ te szeregi czasowe mają zwykle więcej aktywów niż obserwacje okresu, zaproponowano wykonanie PCA w odniesieniu do przekrojowych kowariancji zwrotów aktywów. Nazwali tę metodę Asymptotic Principal Component Analysis (APCA, co jest dość mylące, ponieważ publiczność natychmiast myśli o asymptotycznych właściwościach PCA).

Opracowałem równania i oba podejścia wydają się liczbowo równoważne. Oczywiście asymptotyki są różne, ponieważ wykazano zbieżność dla zamiast . Moje pytanie brzmi: czy ktoś korzystał z APCA w porównaniu z PCA? Czy istnieją konkretne różnice? Jeśli tak, które?$N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

Nie ma absolutnie żadnej różnicy.

Nie ma absolutnie żadnej różnicy między standardowym PCA a tym, co C&K sugeruje i nazywa „asymptotycznym PCA”. Śmieszne jest nadawanie jej osobnej nazwy.

Oto krótkie wyjaśnienie PCA. Jeśli wyśrodkowane dane z próbkami w wierszach są przechowywane w macierzy danych , wówczas PCA szuka wektorów własnych macierzy kowariancji $\mathbf X$i wyświetla dane dotyczące tych wektorów własnych w celu uzyskania głównych składników. Równolegle można rozważyć macierz Grama,$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Wydaje mi się, że to, co sugerował C&K, polega na obliczeniu wektorów własnych macierzy Grama w celu obliczenia głównych składników. Wow. Nie jest to „równoważne” z PCA; to jest PCA.

Aby dodać zamieszanie, nazwa „asymptotyczna PCA” wydaje się odnosić do jej stosunku do analizy czynnikowej (FA), a nie do PCA! Oryginalne dokumenty C&K są w fazie płatności, więc oto cytat z Tsay, Analiza finansowych szeregów czasowych, dostępny w Google Books:

$k$$\to \infty$

$k \to \infty$

• Czy jest jakiś dobry powód, aby używać PCA zamiast EFA? Czy PCA może również zastąpić analizę czynnikową?
• W jakich warunkach PCA i FA dają podobne wyniki?

Podsumowując, C&K zdecydowało się na określenie terminu „asymptotyczny PCA” dla standardowego PCA (który można by również nazwać „asymptotycznym FA”). Posunąłbym się nawet do tego, aby zalecić, aby nigdy nie używać tego terminu.

Zazwyczaj APCA jest wykorzystywane, gdy jest wiele serii, ale bardzo mało próbek. Nie opisałbym APCA jako lepszego ani gorszego niż PCA, ze względu na stwierdzoną równoważność. Różnią się jednak tym, kiedy narzędzia mają zastosowanie. Oto wgląd w papier: możesz zmienić wymiar, jeśli jest to wygodniejsze! Tak więc we wspomnianej aplikacji istnieje wiele zasobów, więc do obliczenia macierzy kowariancji potrzeba długich szeregów czasowych, ale teraz można użyć APCA. To powiedziawszy, nie sądzę, że APCA stosuje się bardzo często, ponieważ można spróbować zmniejszyć wymiarowość za pomocą innych technik (takich jak analiza czynnikowa).