Nie rozumiem wariancji dwumianu

13

Czuję się naprawdę głupio, nawet zadając tak podstawowe pytanie, ale oto:

Jeśli mam losową zmienną która może przyjmować wartości i , przy czym oraz , to jeśli wyciągnę z niej próbek, otrzymam rozkład dwumianowy.0 1 P ( X = 1 ) = p P ( X = 0 ) = 1 - p nX01P(X=1)=pP(X=0)=1pn

Średnia rozkładu wynosi

μ=np=E(X)

Wariancja rozkładu jest

σ2=np(1p)

Tutaj zaczynają się moje problemy:

Wariancja jest zdefiniowana przez . Ponieważ kwadrat dwóch możliwych wyników niczego nie zmienia ( i ), to oznacza , więc oznaczaσ2=E(X2)E(X)2X02=012=1E(X2)=E(X)

σ2=E(X2)E(X)2=E(X)E(X)2=npn2p2=np(1np)np(1p)

Gdzie idzie dodatkowe ? Jak zapewne możesz powiedzieć, nie jestem zbyt dobry w statystykach, więc nie używaj skomplikowanej terminologii: sn

dain
źródło
1
Jeśli i są one niezależne, to . Ale jeszcze łatwiejszą drogą jest więc więc z niezależnością E [ X 2 ] = E [ X 2 1 + X 1 X 2 + + X 1 X n + X 2 X 1 + X 2 2 + ] = n ( n - 1 ) p 2 + n p E [X=X1+X2++XnE[X2]=E[X12+X1X2++X1Xn+X2X1+X22+]=n(n1)p2+npV a r [ X 1 ] = p - p 2 V a r [ X 1 + X 2 + + X n ] = n ( p - p 2 )E[X1]2=pVar[X1]=pp2Var[X1+X2++Xn]=n(pp2)
Henry

Odpowiedzi:

25

Zmienna losowa przyjmująca wartości i z prawdopodobieństwem oraz nazywana jest zmienną losową Bernoulliego z parametrem . Ta losowa zmienna ma Załóżmy, że masz losową próbkę o rozmiarze z i zdefiniuj nową losową zmienną , wówczas rozkład nazywa się dwumianowy, którego parametry to0 1 P ( X = 1 ) = p P ( X = 0 ) = 1 - p p E ( X )X01P(X=1)=pP(X=0)=1pp

E(X)=0(1p)+1p=pE(X2)=02(1p)+12p=pVar(X)=E(X2)(E(X))2=pp2=p(1p)
X1,X2,,XnnBernoulli(p)Y=X1+X2++XnYn i . Średnia i wariancja losowej zmiennej dwumianowej Y jest wyrażona przez p
E(Y)=E(X1+X2++Xn)=p+p++pn=npVar(Y)=Var(X1+X2++Xn)=Var(X1)+Var(X2)++Var(Xn) (as Xi's are independent)=p(1p)+p(1p)++p(1p)n (as Xi's are identically distributed)=np(1p)
LVRao
źródło
1
Jak to odpowiada na pytanie: „Gdzie idzie dodatkowe n?”?
ameba mówi Przywróć Monikę
@amoeba Dziękuję bardzo za komentarz. Ponieważ OP nie mógł rozróżnić zmiennych losowych Bernoulliego i Binomiala, pomyślałem o przypomnieniu mu niezbędnych definicji i procesie uzyskiwania wymaganych wyrażeń.
LVRao
1
Po prostu mówię, że twoja odpowiedź poprawiłaby się (moim zdaniem), gdybyś wyraźnie wskazał błąd w rozumowaniu OP. Twoja odpowiedź wyprowadza prawidłowe formuły, ale nie pokazuje, gdzie OP poszło źle.
ameba mówi Przywróć Monikę
@amoeba True. Udzielanie wskazówek i poprawianie ich również pomaga czasem.
LVRao
11

Dwa błędy w procesie sprawdzania:

1: w pierwszym akapicie ma inną definicję niż w pozostałej części artykułu.XX

2: Pod warunkiem, że ~ , . Spróbuj pracować zB i n ( p , n ) E ( X 2 ) E ( X ) E ( X 2 ) = (XBin(p,n)E(X2)E(X)E(X2)=(x2Pr(X=x))

użytkownik158565
źródło
2
Jeśli podoba ci się krwawienie oczu, przepisałem wiele notatek ze szkoły. Ten konkretny link pokazuje wyprowadzenie E (X) i E (X ^ 2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/...
Benjamin