Dlaczego funkcja kosztowa sieci neuronowych nie jest wypukła?

Jest tutaj podobny wątek ( funkcja kosztu sieci neuronowej nie jest wypukła? ), Ale nie byłem w stanie zrozumieć punktów w odpowiedziach i mój powód, by zapytać ponownie, mając nadzieję, że rozwiąże to niektóre problemy:

Jeśli używam sumy kwadratowej funkcji różnicy kosztów, ostatecznie optymalizuję coś w postaci gdzie jest rzeczywistą wartością etykiety podczas treningu faza i to przewidywana wartość etykiety. Ponieważ ma on kwadratową postać, powinna to być funkcja wypukłego kosztu. Więc co może sprawić, że będzie niewypukły w NN? y $\Sigma_{i=1}^{N}(y_i - \hat{y_i})^2$$y$$\hat{y}$

rzeczywiście wypukły r I . Ale jeśli rw I = f ( x I ; θ ) nie może być wypukła w θ , który jest sytuacja z większością modeli nieliniowych, a my faktycznie dbają o wypukłość w θ bo to co mamy optymalizację funkcji kosztu koniec.$\sum_i (y_i- \hat y_i)^2$$\hat y_i$$\hat y_i = f(x_i ; \theta)$$\theta$$\theta$

Rozważmy na przykład sieć z 1 ukrytą warstwą jednostek i liniową warstwą wyjściową: naszą funkcją kosztu jest g ( α , W ) = ∑ i ( y i - α i σ ( W x i ) ) 2 gdzie x i ∈ R p i (i dla uproszczenia pomijam terminy stronniczości). Niekoniecznie jest to wypukłe, gdy jest postrzegane jako funkcja (w zależności od$N$

$$g(\alpha, W) = \sum_i \left(y_i - \alpha_i\sigma(Wx_i)\right)^2$$ $x_i \in \mathbb R^p$ ( α , W ) $W \in \mathbb R^{N \times p}$$(\alpha, W)$$\sigma$: jeśli stosowana jest funkcja aktywacji liniowej, może ona nadal być wypukła). Im głębsza jest nasza sieć, tym mniej wypukłe są rzeczy.

Teraz zdefiniuj funkcję przez gdzie jest z ustaw na a ustaw na . To pozwala nam wizualizować funkcję kosztów, ponieważ te dwie wagi różnią się. h ( u , v ) = g ( α , W ( u , v ) ) W ( u , v ) W W 11 u W 12$h : \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$$h(u, v) = g(\alpha, W(u, v))$$W(u,v)$$W$$W_{11}$$u$$W_{12}$$v$

Poniższy rysunek pokazuje to dla funkcji aktywacji sigmoidalnej przy , i (tak bardzo prosta architektura). Wszystkie dane (zarówno jak i ) to iid , podobnie jak wszelkie wagi niezmienne w funkcji kreślenia. Tutaj widać brak wypukłości.p = 3 N = 1 x y N ( 0 , 1 $n=50$$p=3$$N=1$$x$$y$$\mathcal N(0,1)$

Oto kod R, którego użyłem do stworzenia tej figury (chociaż niektóre parametry mają teraz nieco inne wartości niż wtedy, kiedy to zrobiłem, więc nie będą identyczne):

costfunc <- function(u, v, W, a, x, y, afunc) {
  W[1,1] <- u; W[1,2] <- v
  preds <- t(a) %*% afunc(W %*% t(x))
  sum((y - preds)^2)
}

set.seed(1)
n <- 75  # number of observations
p <- 3   # number of predictors
N <- 1   # number of hidden units


x <- matrix(rnorm(n * p), n, p)
y <- rnorm(n)  # all noise
a <- matrix(rnorm(N), N)
W <- matrix(rnorm(N * p), N, p)

afunc <- function(z) 1 / (1 + exp(-z))  # sigmoid

l = 400  # dim of matrix of cost evaluations
wvals <- seq(-50, 50, length = l)  # where we evaluate costfunc
fmtx <- matrix(0, l, l)
for(i in 1:l) {
  for(j in 1:l) {
    fmtx[i,j] = costfunc(wvals[i], wvals[j], W, a, x, y, afunc)
  }
}

filled.contour(wvals, wvals, fmtx,plot.axes = { contour(wvals, wvals, fmtx, nlevels = 25, 
                                           drawlabels = F, axes = FALSE, 
                                           frame.plot = FALSE, add = TRUE); axis(1); axis(2) },
               main = 'NN loss surface', xlab = expression(paste('W'[11])), ylab = expression(paste('W'[12])))