Generowanie skorelowanych zmiennych losowych dwumianowych

Zastanawiałem się, czy możliwe jest wygenerowanie skorelowanych losowych zmiennych dwumianowych po zastosowaniu transformacji liniowej?

Poniżej wypróbowałem coś prostego w R i daje to pewną korelację. Ale zastanawiałem się, czy istnieje jakiś zasadny sposób, aby to zrobić?

X1 = rbinom(1e4, 6, .5) ; X2 = rbinom(1e4, 6, .5) ;  X3 = rbinom(1e4, 6, .5) ; a = .5

Y1 = X1 + (a*X2) ; Y2 = X2 + (a*X3) ## Y1 and Y2 are supposed to be correlated

cor(Y1, Y2)

Zmienne dwumianowe są zwykle tworzone przez zsumowanie niezależnych zmiennych Bernoulliego. Zobaczmy, czy możemy zacząć od pary skorelowanych zmiennych Bernoulliego i zrobić to samo.$(X,Y)$

Załóżmy, że jest zmienną Bernoulliego (to znaczy a ), a jest zmienną Bernoulliego . Aby określić ich wspólną dystrybucję, musimy określić wszystkie cztery kombinacje wyników. Pisząc możemy łatwo ustalić resztę z aksjomatów prawdopodobieństwa:( p ) Pr ( X = 1 ) = p Pr ( X = 0 ) = 1 - p Y ( q ) Pr ( ( X , Y ) = ( 0 , 0 ) ) = a , Pr ( ( X , Y ) = ( 1 , 0 ) ) = 1 - $X$$(p)$$\Pr(X=1)=p$$\Pr(X=0)=1-p$$Y$$(q)$

Podłączenie tego do wzoru dla współczynnika korelacji i rozwiązanie dajea = ( 1 - p ) ( 1 - q ) + ρ $\rho$

Pod warunkiem, że wszystkie cztery prawdopodobieństwa nie są ujemne, da to prawidłowy wspólny rozkład - a to rozwiązanie parametryzuje wszystkie dwuwymiarowe rozkłady Bernoulliego. (Gdy , istnieje rozwiązanie dla wszystkich matematycznie znaczących korelacji między a ) Gdy sumujemy tych zmiennych, korelacja pozostaje taka sama - ale teraz rozkłady brzeżne są dwumianowe i Dwumianowy , zgodnie z potrzebami.$p=q$$-1$$1$$n$$(n,p)$$(n,q)$

Przykład

Niech , , , i chcielibyśmy, aby korelacja wynosiła . Rozwiązaniem dla jest (a inne prawdopodobieństwa wynoszą około , i ). Oto wykres realizacji ze wspólnej dystrybucji:$n=10$$p=1/3$$q=3/4$$\rho=-4/5$$(1)$$a=0.00336735$$0.247$$0.663$$0.087$$1000$

Czerwone linie wskazują średnie próbki, a linia przerywana to linia regresji. Wszystkie są zbliżone do zamierzonych wartości. Punkty zostały przypadkowo roztrzęsione na tym obrazie, aby rozwiązać nakładanie się: w końcu rozkłady dwumianowe produkują tylko wartości całkowite, więc będzie bardzo dużo wykreślania.

Jednym ze sposobów generowania tych zmiennych jest próbkowanie razy z z wybranymi prawdopodobieństwami, a następnie przeliczanie każdego na , każdego na , każde na i każdy na . Zsumuj wyniki (jako wektory), aby uzyskać jedną realizację .$n$$\{1,2,3,4\}$$1$$(0,0)$$2$$(1,0)$$3$$(0,1)$$4$$(1,1)$$(X,Y)$

Kod

Oto Rimplementacja.

#
# Compute Pr(0,0) from rho, p=Pr(X=1), and q=Pr(Y=1).
#
a <- function(rho, p, q) {
  rho * sqrt(p*q*(1-p)*(1-q)) + (1-p)*(1-q)
}
#
# Specify the parameters.
#
n <- 10
p <- 1/3
q <- 3/4
rho <- -4/5
#
# Compute the four probabilities for the joint distribution.
#
a.0 <- a(rho, p, q)
prob <- c(`(0,0)`=a.0, `(1,0)`=1-q-a.0, `(0,1)`=1-p-a.0, `(1,1)`=a.0+p+q-1)
if (min(prob) < 0) {
  print(prob)
  stop("Error: a probability is negative.")
}
#
# Illustrate generation of correlated Binomial variables.
#
set.seed(17)
n.sim <- 1000
u <- sample.int(4, n.sim * n, replace=TRUE, prob=prob)
y <- floor((u-1)/2)
x <- 1 - u %% 2
x <- colSums(matrix(x, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
y <- colSums(matrix(y, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
#
# Plot the empirical bivariate distribution.
#
plot(x+rnorm(length(x), sd=1/8), y+rnorm(length(y), sd=1/8),
     pch=19, cex=1/2, col="#00000010",
     xlab="X", ylab="Y",
     main=paste("Correlation is", signif(cor(x,y), 3)))
abline(v=mean(x), h=mean(y), col="Red")
abline(lm(y ~ x), lwd=2, lty=3)