Rozkład rozkładu normalnego

Czy istnieje rozkład tylko dodatni, tak że różnica dwóch niezależnych próbek od tego rozkładu jest zwykle rozkładana? Jeśli tak, to czy ma prostą formę?

distributions probability Martin O'Leary
źródło

Interesujące pytanie! Rozkład normalny jest nieskończenie rozkładalny, co oznacza, że zawsze można zapisać go jako rozkład sumy dowolnej liczby zmiennych losowych. Ale to nie jest pytanie.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

Xi'an

Jeśli przejdziesz do funkcji generowania momentu, pytanie brzmi, czy

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$ pozwala dla rozwiązania (in

φ

$\varphi$ ), które jest funkcją generującą moment zmiennej dodatniej ...

Xi'an

Masz rację, @Dipip: różnica pół-normalna nie ma rozkładu normalnego. Problem nie polega na wariancji różnicy: sam kształt rozkładu nie jest normalny (jego kurtoza jest zbyt duża).

whuber

Choć jest to oczywiste, może warto zauważyć, że stwierdzenie to jest w przybliżeniu poprawne. W końcu różnica między zmienną

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$ a zmienną

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$ ma rozkład

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$ a przez wybierając

μ

$\mu$ wystarczająco duże, możemy sprawić, że jedna ze zmiennych będzie ujemna tak mała, jak to pożądane.

whuber

Odpowiedzi:

Odpowiedź na pytanie brzmi „nie” i wynika ze słynnej charakterystyki normalnych rozkładów.

Załóżmy, że i są niezależnymi zmiennymi losowymi. Tak samo są niezależne zmienne losowe i , i oczywiście możemy zapisać jako , suma dwóch niezależnych zmiennych losowych. Teraz, zgodnie z twierdzeniem wysuniętym przez P. Lévy'ego i udowodnionym przez H. Craméra (patrz Feller, rozdział XV.8, Twierdzenie 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Jeśli i są niezależnymi zmiennymi losowymi, a jest normalnie rozłożony, to zarówno jak i są normalnie rozłożone. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

OP pyta, czy istnieją iid dodatnie losowe zmienne i tak że jest normalnie rozłożony. Ale nawet jeśli zrezygnujemy z dodatnich i identycznych rozkładów i zachowamy tylko niezależność, normalność wymaga, aby zarówno jak i były normalnymi zmiennymi losowymi. Jak mówi Feller, „rozkładu normalnego nie można rozkładać inaczej niż w trywialny sposób”. $X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

Dilip Sarwate
źródło

Miałem nieco nadzieję, że odpowiedź będzie twierdząca, ale dzięki! Nie mam łatwego dostępu do kopii Fellera - czy można naszkicować dowód twierdzenia? Wydaje się to dość sprzeczne z intuicją.

Martin O'Leary,

Nawet Feller nie zawiera oryginalnego dowodu twierdzącego, że jest on oparty na teorii funkcji analitycznych, a zatem zupełnie różni się od jego podejścia do funkcji charakterystycznych.

Dilip Sarwate,

Tak myślałem, ale to otwiera drzwi dla zmiennych zależnych. Próbowałem znaleźć sposób na zbudowanie zależności między 2 dodatnimi połówkami normalnymi, ale nie udało mi się sprawić, by zadziałało.

Michael R. Chernick

no cóż, może ktoś powinien być bardziej zainteresowany próbą rozwiązania tego problemu

Michael R. Chernick

Zadam to pytanie, a następnie możesz przeliterować swoją odpowiedź. Nie do końca śledzę, jak wygląda ta gęstość stawów i czy przyjmujesz Z = | X | - | Y |?

Michael R. Chernick