Intuicyjne wyjaśnienie rdzenia jednostki

Jak wyjaśniłbyś intuicyjnie, czym jest root root, w kontekście testu root root?

Zastanawiam się nad wytłumaczeniem, tak jak założyłem to pytanie .

Przypadek z pierwiastkiem jednostkowym jest taki, że wiem (przy okazji, mało), że test pierwiastka jednostkowego służy do testowania stacjonarności w szeregu czasowym, ale to po prostu to.

Jak wyjaśniłbyś to laikowi lub osobie, która studiowała bardzo podstawowy kurs prawdopodobieństwa i statystyki?

AKTUALIZACJA

Zaakceptowałem odpowiedź Whubera, ponieważ to najbardziej odzwierciedla to, o co tutaj prosiłem. Ale zachęcam wszystkich, którzy tu przybyli, aby przeczytali również odpowiedzi Patricka i Michaela, ponieważ są one naturalnym „kolejnym krokiem” do zrozumienia Korzeni Jednostki. Używają matematyki, ale w bardzo intuicyjny sposób.

Właśnie przyszedł na most; nie patrząc, dokąd idzie, potknął się o coś, a szyszka jodły wyskoczyła z łapy do rzeki.

- Przeszkadza - powiedział Puchatek, który powoli unosił się pod mostem, a on wrócił po kolejny stożek jodły z rymem. Ale potem pomyślał, że zamiast tego po prostu spojrzy na rzekę, ponieważ był to spokojny dzień, więc położył się i spojrzał na nią, a ona powoli wymykała się spod niego. . . i nagle jego stożek jodłowy ześlizgnął się.

„To zabawne” - powiedział Puchatek. „Upuściłem go na drugą stronę - powiedział Puchatek - i wyszło z tej strony! Zastanawiam się, czy zrobiłby to jeszcze raz?”

AA Milne, The House at Pooh Corner (Rozdział VI. W którym Puchatek wymyśla nową grę i dołącza kłapouchy.)

Oto zdjęcie przepływu wzdłuż powierzchni wody:

Strzałki pokazują kierunek przepływu i są połączone liniami usprawniającymi. Stożek jodły będzie miał tendencję do podążania za linią prądową, w której spada. Ale nie zawsze robi to w ten sam sposób za każdym razem, nawet gdy jest upuszczany w tym samym miejscu w strumieniu: przypadkowe zmiany na swojej drodze, spowodowane turbulencjami w wodzie, wiatrem i innymi kaprysami natury, powodują kopnięcie go na sąsiednie linie strumienia.

Tutaj stożek jodły został upuszczony w pobliżu prawego górnego rogu. Mniej więcej podążał za liniami strumienia - które zbiegają się i spływają w dół iw lewo - ale po drodze niewiele się objeżdżał.

„Proces autoregresyjny” (proces AR) jest sekwencją liczb uważanych za zachowujące się jak pewne przepływy. Dwuwymiarowa ilustracja odpowiada procesowi, w którym każda liczba jest określana przez jej dwie poprzednie wartości - plus losowy „objazd”. Analogii dokonuje się, interpretując każdą kolejną parę w sekwencji jako współrzędne punktu w strumieniu. Natychmiast po chwili przepływ strumienia zmienia współrzędne stożka jodły w taki sam matematyczny sposób, jaki podano w procesie AR.

Możemy odzyskać oryginalny proces z obrazu opartego na przepływie, pisząc współrzędne każdego punktu zajmowanego przez stożek jodły, a następnie usuwając wszystkie oprócz ostatniej liczby w każdym zestawie współrzędnych.

Natura - a zwłaszcza strumienie - jest bogatsza i bardziej zróżnicowana niż przepływy odpowiadające procesom AR. Ponieważ zakłada się, że każda liczba w sekwencji zależy w ten sam ustalony sposób od swoich poprzedników - oprócz części losowego objazdu - przepływy, które ilustrują procesy AR, wykazują ograniczone wzorce. Rzeczywiście mogą wydawać się płynąć jak strumień, jak widać tutaj. Mogą również wyglądać jak wirujące wokół odpływu. Przepływy mogą występować w odwrotnym kierunku, zdając się tryskać na zewnątrz z drenu. I mogą wyglądać jak ujścia dwóch strumieni rozbijających się razem: dwa źródła wody przepływają bezpośrednio jeden obok drugiego, a następnie rozdzielają się na boki. Ale to jest o tym. Nie możesz mieć, powiedzmy, płynącego strumienia z wirami skierowanymi na boki. Procesy AR są na to zbyt proste.

W tym przepływie stożek jodły został upuszczony w prawym dolnym rogu i szybko przeniesiony do wiru w prawym górnym rogu, pomimo niewielkich przypadkowych zmian położenia, w którym został poddany. Ale nigdy nie przestanie się poruszać z powodu tych samych losowych ruchów, które ratują go przed zapomnieniem. Współrzędne stożka jodły poruszają się nieco - w rzeczywistości widać, że ogólnie oscylują wokół współrzędnych środka wiru. W pierwszym przepływie strumienia współrzędne poruszały się nieuchronnie wzdłuż środka strumienia, który szybko uchwycił stożek i zabrał go szybciej, niż jego przypadkowe objazdy mogłyby go spowolnić: zmieniają się w czasie. Natomiast okrążanie wirów jest przykładem stacjonarnegoproces, w którym chwytany jest stożek jodły; spływanie w dół strumienia, w którym stożek wypływa z pola widzenia - trendy - jest niestacjonarne.

Nawiasem mówiąc, kiedy przepływ dla procesu AR oddala się w dół, również przyspiesza. Robi się coraz szybciej, gdy stożek porusza się wzdłuż niego.

Charakter przepływu AR jest określony przez kilka specjalnych, „charakterystycznych” kierunków, które są zwykle widoczne na schemacie strumienia: linie przepływu wydają się zbiegać w tych kierunkach lub z nich wychodzić. Zawsze można znaleźć tyle charakterystycznych kierunków, ile współczynników w procesie AR: dwa na tych ilustracjach. Z każdym charakterystycznym kierunkiem związana jest liczba, jej „pierwiastek” lub „wartość własna”. Gdy wielkość liczby jest mniejsza niż jedność, przepływ w tym charakterystycznym kierunku jest kierowany do centralnej lokalizacji. Gdy wielkość korzenia jest większa od jedności, przyspiesza przepływ z dala od centrum miasta.$1$- jest zdominowany przez losowe siły działające na stożek. To „losowy spacer”. Stożek może oddalać się powoli, ale bez przyspieszania.

(Niektóre liczby pokazują wartości obu pierwiastków w swoich tytułach).

Nawet Puchatek - niedźwiedź o bardzo małym mózgu - rozpoznałby, że strumień uchwyci swój jodłowy stożek tylko wtedy, gdy cały przepływ będzie skierowany w stronę jednego wiru lub wiru; w przeciwnym razie, podczas jednego z tych losowych objazdów, stożek ostatecznie znajdzie się pod wpływem tej części strumienia z korzeniem większym niż , skąd odejdzie w dół rzeki i zostanie utracony na zawsze. W konsekwencji proces AR może być stacjonarny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie charakterystyczne wartości są mniejsze niż jedność wielkości .$1$

Ekonomiści są prawdopodobnie największymi analitykami szeregów czasowych i pracodawcami technologii procesów AR. Ich seria danych zwykle nie przyspiesza poza zasięgiem wzroku. Chodzi zatem tylko o to, czy istnieje charakterystyczny kierunek, którego wartość może być tak duża jak : „pierwiastek jednostkowy”. Wiedza, czy dane są zgodne z takim przepływem, może wiele powiedzieć ekonomistom o potencjalnym losie jego puchatki: to znaczy o tym, co wydarzy się w przyszłości. Dlatego może być ważne, aby przetestować root root. Dobry artykuł w Wikipedii wyjaśnia niektóre z implikacji.$1$

Puchatek i jego przyjaciele znaleźli empiryczny test stacjonarności:

Teraz pewnego dnia Puchatek, Prosiaczek, Królik i Roo grali razem Puchatków. Rzucili patyki, kiedy Królik powiedział „Idź!”. a potem pospieszyli na drugą stronę mostu, a teraz wszyscy pochylali się nad krawędzią, czekając, czyj kij wyjdzie pierwszy. Nadchodziło jednak dużo czasu, ponieważ rzeka była bardzo leniwa tego dnia i nie wydawało się to mieć nic przeciwko, gdyby w ogóle się tam nie dostała.

„Widzę moje!” zawołał Roo. „Nie, nie mogę, to coś innego. Widzisz swoje, Prosiaczku? Myślałem, że mogę zobaczyć moje, ale nie mogłem. Tam jest! Nie, nie jest. Czy możesz zobaczyć swoje, Puchatku? „

„Nie”, powiedział Puchatek.

„Spodziewam się, że mój kij utknął”, powiedział Roo. „Króliczku, mój kij utknął. Czy twój kij utknął, Prosiaczku?”

„Zawsze trwają dłużej, niż myślisz” - powiedział Królik.

Ten fragment z 1928 r. Można interpretować jako pierwszy „test jednostkowy Roo”.

Wyobraź sobie dwa procesy :$AR(1)$

• Proces 1:$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• Proces 2:$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$ pochodzi z$N(0,1)$

Proces 1 nie ma katalogu głównego. Proces 2 ma katalog główny. Możesz to potwierdzić, obliczając charakterystyczne wielomiany na odpowiedź Michaela.

Wyobraźmy sobie, że oba procesy zaczynamy od zera, tzn. . Teraz wyobraź sobie, co się stanie, gdy będziemy mieli „dobry ciąg” pozytywnych epsilonów i wyobraź sobie, że oba procesy osiągają .$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

Co się potem dzieje? Gdzie spodziewamy się sekwencji?

Oczekujemy, że . Oczekujemy więc, że przypadek Procesu 1 będzie miał , , itd.$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

Ale oczekujemy, że dla Procesu 2 , , itd.$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

Tak więc jedną intuicją jest to, że kiedy „ciąg szczęścia / pecha” popycha proces z korzeniem jednostki, sekwencja „utknęła na miejscu” przez historyczne szczęście lub pech. Nadal będzie się zmieniać losowo, ale nic nie „zmusza go do powrotu”. Z drugiej strony, gdy nie ma korzenia jednostki, a proces się nie wysadza, w procesie pojawia się „siła”, która sprawi, że proces powróci do starej pozycji, chociaż losowy hałas wciąż go trochę przewróci .

„Utknięcie” może obejmować nie tłumione oscylacje, prosty przykład to: . To odbije się w przód i w tył od dodatniego do ujemnego, ale oscylacja nie jest predestynowana do eksplozji do nieskończoności lub stłumienia do zera. Możesz uzyskać więcej form „utknięcia”, które obejmują bardziej złożone rodzaje oscylacji.$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

Rozważmy proces autoregresyjny pierwszego rzędu gdzie jest białym szumem. Model może być również wyrażony za pomocą wszystkich po jednej stronie jako

Za pomocą operatora wstecznego możemy ponownie wyrazić model w sposób kompaktowy jako lub, równoważnie, Charakterystyczny wielomian jest . Ma (unikalny) pierwiastek przy . Następnie dla mamy stacjonarny proces , a dla mamy wybuchowy niestacjonarny proces . Dla mamy losowy spacer która jest niestacjonarny i jednostki pierwiastek . Tak więc pierwiastki tworzą granicę między stacjonarnością a niestacjonarnością. The$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$