Dlaczego rodzina wykładnicza nie obejmuje wszystkich rozkładów?

18

Czytam książkę:

Bishop, Rozpoznawanie wzorców i uczenie maszynowe (2006)

który definiuje wykładniczą rodzinę jako rozkłady postaci (równanie 2.194):

p(x|η)=h(x)g(η)exp{ηTu(x)}

Ale nie widzę żadnych ograniczeń dotyczących lub . Czy to nie oznacza, że dowolna dystrybucja może być umieszczona w tej formie, poprzez odpowiedni wybór i (w rzeczywistości tylko jeden z nich musi być odpowiednio wybrany!)? Dlaczego więc rodzina wykładnicza nie obejmuje wszystkich rozkładów prawdopodobieństwa? czego mi brakuje?h(x)u(x)h(x)u(x)

Na koniec bardziej szczegółowe pytanie, które mnie interesuje, brzmi: czy rozkład Bernoulliego w rodzinie wykładniczej ? Wikipedia twierdzi, że tak, ale ponieważ jestem tutaj wyraźnie zdezorientowany, chciałbym dowiedzieć się, dlaczego.

becko
źródło
3
dla dowodu, że rozkład Bernoulliego należy do rodziny wykładniczej, spróbuj użyć faktu, że i zobacz, dokąd cię to f(x;μ)=exp(log(f(x;μ)))
zaprowadzi
1
Aby wyjaśnić, czy pytasz, czy w tym formularzu można napisać jakąkolwiek dystrybucję, czy też w tej formie można napisać rodzinę dystrybucji? Wydaje się, że otrzymałeś odpowiedzi na to ostatnie pytanie.
Owen,
1
@Owen Tak, teraz widzę, że jest to kluczowy punkt. Chociaż dowolna dystrybucja może być zapisana w tej formie (poprzez odpowiednie ustawienie i ), nie oznacza to, że w tej formie można napisać dowolną rodzinę . h(x)g=1,u=0
becko
4
@becko, Dokładnie tak. Frazowanie w tekście „rodzina wykładnicza” jest nieco mylące, ponieważ nie ma tylko jednej rodziny wykładniczej; raczej każdy wybór daje początek rodzinie. Zamiast tego wielu autorów mówi „wykładnicza rodzina”, co wyjaśnia to bardziej; np. zobacz stronę Wikipedii: en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family(h,g,u)
Brent Kerby
2
@becko Myślę, że twój argument pokazuje, że dowolna dystrybucja może być jednym członkiem rodziny wykładniczej, ale nie że każda rodzina dystrybucji może być rodziną wykładniczą.
Matthew Drury

Odpowiedzi:

22

Cóż, jedną konsekwencją twojej definicji: jest to, że obsługa rodziny dystrybucji indeksowanej parametrem η nie zależy od η . (Wsparcie rozkładu prawdopodobieństwa to (zamknięcie) najmniejszego zestawu z prawdopodobieństwem jeden, czyli innymi słowy, gdzie rozkład występuje

p(x|η)=h(x)g(η)exp{ηTu(x)}
ηη .) Wystarczy więc podać kontrprzykład rodziny dystrybucji ze wsparciem zależnym od parametru, najłatwiejszym przykładem jest następująca rodzina rozkładów jednorodnych: . (inna odpowiedź @Chaconne daje bardziej wyrafinowany kontrprzykład).U(0,η),η>0
kjetil b halvorsen
źródło
23

Rozważ niecentralny rozkład Laplace'a

f(x;μ,σ)exp(|xμ|/σ).

Chyba że nie będziesz mógł pisać | x - μ | jako iloczyn wewnętrzny między μ a jakąś funkcją x .μ=0|xμ|μx

Rodzina wykładnicza zawiera ogromną większość ładnie nazwanych dystrybucji, które często spotykamy, więc na początku może się wydawać, że ma wszystko, co interesujące, ale w żadnym wypadku nie jest wyczerpująca.

jld
źródło