„Absolutnie ciągła zmienna losowa” vs. „Ciągła zmienna losowa”?

W książce „Twierdzenia graniczne teorii prawdopodobieństwa” Walentina V. Pietrowa dostrzegłem rozróżnienie między definicjami rozkładu będącymi „ciągłymi” a „absolutnie ciągłymi”, które są następujące:

"... Rozkład zmiennej losowej X jest ciągły, jeśli P ( X ∈ B ) = 0 dla dowolnego skończonego lub policzalnego zbioru B punktów linii rzeczywistej. Mówi się, że jest absolutnie ciągły, jeśli P ( X ∈ B ) = 0 dla wszystkich zbiorów Borela B miary Lebesgue'a zero… ”$(*)$ $X$$P\left(X \in B\right)=0$$B$$P\left(X \in B\right)=0$$B$

Znana mi koncepcja to:

„Jeśli zmienna losowa ma ciągłą funkcję skumulowanego rozkładu, to jest ona absolutnie ciągła.”$(\#)$

czy dwa opisy dotyczące „absolutnej ciągłości” w ( ∗ ) i ( # ) mówią o tym samym? Jeśli tak, jak mogę przetłumaczyć jedno wyjaśnienie na drugie?$\textbf{My questions are:}$$(*)$$(\#)$

Dziękuję Ci!

Opisy różnią się: tylko pierwszy $(*)$ jest poprawny. Ta odpowiedź wyjaśnia, jak i dlaczego.

Ciągłe dystrybucje

„Ciągły” rozkład $F$ jest ciągły w zwykłym znaczeniu funkcji ciągłej . Jedna z definicji (zazwyczaj pierwsza spotykana przez ludzi w ich edukacji) jest taka, że ​​dla każdego $x$ i dla dowolnej liczby $\epsilon\gt 0$ istnieje $\delta$ (w zależności od $x$ i $\epsilon$ ), dla którego wartości $F$ na $\delta$ sąsiedztwie $x$ są różne o nie więcej niż $\epsilon$ z $F(x)$ .

Jest to krótki krok od wykazania, że ​​gdy ciągły $F$ jest rozkładem losowej zmiennej $X$ , to $\Pr(X=x)=0$ dla dowolnej liczby $x$ . W końcu definicja ciągłości oznacza, że ​​można zmniejszyć $\delta$ aby $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ tak mała jak dowolna $\epsilon \gt 0$ a ponieważ (1) prawdopodobieństwo to jest nie mniejsze niż $\Pr(X=x)$ i (2)$\epsilon$ mogą być dowolnie małe, z tego wynika, że$\Pr(X=x)=0$ . Policzalny addytywności prawdopodobieństwa rozszerza ten wynik każdej skończonej lub zbiór przeliczalny$B$ .

Całkowicie ciągłe rozkłady

Wszystkie funkcje rozkładu $F$ określają miary skończone $\mu_F$ określone przez

Absolutna ciągłość jest pojęciem teorii miary. Jedną z miar $\mu_F$ jest całkowicie ciągły w odniesieniu do innego środka $\lambda$ (obu określonych w tym samym przestrzeń mierzalna), gdy dla każdego zbioru mierzalnego $E$ , $\lambda(E)=0$ oznacza $\mu_F(E)=0$ . Innymi słowy, w odniesieniu do $\lambda$ , nie ma zestawów „małych” (miara zero), do których $\mu_F$ przypisuje „duże” (niezerowe) prawdopodobieństwo.

Przyjmiemy, że $\lambda$ jest zwykłą miarą Lebesgue'a, dla której $\lambda((a,b]) = b-a$ jest długością przedziału. Druga połowa $(*)$ stanowi, że miara prawdopodobieństwa $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$ jest absolutnie ciągłe w odniesieniu do miary Lebesgue'a.

Absolutna ciągłość wiąże się z różnicowalnością. Pochodna jednej miary względem drugiej (w pewnym momencie $x$ ) jest intuicyjną koncepcją: weź zestaw mierzalnych dzielnic $x$ które zmniejszają się do $x$ i porównaj dwie miary w tych dzielnicach. Jeśli zawsze zbliżają się do tego samego limitu, bez względu na wybraną sekwencję sąsiedztw, wówczas granica ta jest pochodną. (Istnieje problem techniczny: musisz ograniczyć te dzielnice, aby nie miały „patologicznych” kształtów. Można tego dokonać, wymagając od każdej dzielnicy zajmowania nieistotnej części regionu, w którym się znajduje).

Różnicowanie w tym sensie jest właśnie pytaniem w Jaka jest definicja prawdopodobieństwa przy rozkładzie ciągłym? adresuje.

Napiszmy $D_\lambda(\mu_F)$ dla pochodnej $\mu_F$ względem $\lambda$ . Odpowiednie twierdzenie - jest to teoretyczna wersja Podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego - twierdzenia

$\mu_F$ jest absolutnie ciągłe w odniesieniu do$\lambda$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ dla każdego zbioru mierzalnego$E$ . [Rudin, Twierdzenie 8.6]

Innymi słowy, ciągłość bezwzględna ( $\mu_F$ względem $\lambda$ ) jest równoważna istnieniu funkcji gęstości $D_\lambda(\mu_F)$ .

Podsumowanie

1. Rozkład $F$ jest ciągły, gdy $F$ jest ciągły jako funkcja: intuicyjnie nie ma „skoków”.

2. Rozkład $F$ jest absolutnie ciągły, gdy ma funkcję gęstości (w odniesieniu do miary Lebesgue'a).

To, że te dwa rodzaje ciągłości nie są równoważne, jest pokazane w przykładach, takich jak ten opisany na https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Jest to słynna funkcja Cantor . Dla tej funkcji $F$ jest prawie wszędzie poziomo (ponieważ jego wykres jest wyraźny), skąd $D_\lambda(\mu_F)$ jest prawie wszędzie zerowy, a zatem $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$. To oczywiście nie daje poprawnej wartości $1$ (zgodnie z aksjomatem całkowitego prawdopodobieństwa).

Komentarze

Praktycznie wszystkie rozkłady używane w aplikacjach statystycznych są absolutnie ciągłe, nigdzie ciągłe (dyskretne) lub ich mieszaniny, więc rozróżnienie między ciągłością a ciągłością absolutną jest często ignorowane. Jednak nie docenienie tego rozróżnienia może prowadzić do mętnego rozumowania i złej intuicji, szczególnie w przypadkach, w których rygor jest najbardziej potrzebny: mianowicie, gdy sytuacja jest myląca lub nieintuicyjna, więc polegamy na matematyce, która prowadzi nas do poprawienia wyników. Dlatego zwykle nie robimy dużych rzeczy w praktyce, ale każdy powinien o tym wiedzieć.

Odniesienie

Rudin, Walter. Analiza rzeczywista i złożona . McGraw-Hill, 1974: rozdziały 6.2 (Absolutna ciągłość) i 8.1 (Pochodne miar).