Czy z możemy stwierdzić, że są niezależne?

Cóż, nie możemy zobaczyć, na przykład https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence dla interesującego kontrprzykładu. Ale prawdziwe pytanie brzmi: czy jest jakiś sposób na wzmocnienie tej kondycji, aby nastąpiła niezależność? Na przykład, czy istnieje jakiś zestaw funkcji więc jeśli dla wszystkich to nastąpi niezależność? A jak duży musi być taki zestaw funkcji, nieskończony? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

A poza tym, czy jest jakieś dobre odniesienie do tego pytania?

probability mathematical-statistics references random-variable independence kjetil b halvorsen
źródło

czy miałeś z tym jakieś szczęście? Chciałbym zobaczyć, czy istnieje skończony zestaw funkcji, który działa dla dowolnej pary RV, a szczególnie uzasadnienie jest czymś innym niż faktoryzacja CDF

Zapoznam się z tym! Wątpię, czy ogólnie istnieje zbiór skończony, ale każdy zbiór, który jest podstawą liniowego zestawu funkcji powinien zrobić (tak na przykład, jeśli oba mają wartości w a następnie a zestaw liniowo niezależne wielomianów (lub innych) działa powinni robić.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

Kjetil b HALVORSEN

Odpowiedzi:

Niech będzie przestrzenią prawdopodobieństwa. Z definicji dwie losowe zmienne są niezależne, jeśli ich -algebras i są niezależne, tj. mamy . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Niech i weźmy (dzięki @grand_chat za wskazanie, że wystarczy). Następnie mamy i $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Jeśli założymy, że , możemy odwołać się do twierdzenie , aby pokazać, że tj . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Tak więc, chyba że popełniłem błąd, mamy przynajmniej policzalną kolekcję takich funkcji, a dotyczy to każdej pary zmiennych losowych zdefiniowanych na wspólnej przestrzeni prawdopodobieństwa.

jld
źródło

Co właściwie pokazałeś? Chociaż zdefiniowałeś niezliczoną liczbę funkcji, gdzie wykazałeś, że wszystkie są potrzebne? Trudno sobie wyobrazić, że taka ilość funkcji byłaby konieczna, gdy i mają na przykład skończone zestawy możliwych wartości.

X

$X$

Y

$Y$

whuber

@ Whuber Próbowałem odpowiedzieć na pytanie, czy w ogóle istnieje taki zbiór funkcji. Zgadzam się, że bardziej interesującym aspektem jest znalezienie takiego minimalnego zestawu (który wciąż pracuję na)

JLD

Możesz zredukować do policzalnego zestawu, rozważając po prostu racjonalne .

G

$G$

a

$a$

grand_chat

@grand_chat świetny punkt, zaktualizowałem

19.18