Wiem, że regresję liniową można uznać za „linię, która jest pionowo najbliższa wszystkich punktów” :
Jest jednak inny sposób, aby to zobaczyć, wizualizując przestrzeń kolumny, jako „rzut na przestrzeń rozciągniętą przez kolumny macierzy współczynników” :
Moje pytanie brzmi: co się dzieje w tych dwóch interpretacjach, gdy stosujemy karaną regresję liniową, taką jak regresja kalenicy i LASSO ? Co dzieje się z linią w pierwszej interpretacji? A co dzieje się z projekcją w drugiej interpretacji?
AKTUALIZACJA: @JohnSmith w komentarzach przywołał fakt, że kara występuje w przestrzeni współczynników. Czy istnieje także interpretacja w tej przestrzeni?
regression
intuition
geometry
Lucas Reis
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Przepraszam za moje umiejętności malarskie, postaram się dać ci następującą intuicję.
Niech będzie funkcją celu (na przykład MSE w przypadku regresji). Wyobraźmy sobie wykres konturowy tej funkcji na czerwono (oczywiście malujemy ją w przestrzeni β , tutaj dla uproszczenia β 1 i β 2 ).fa( β) β β1 β2)
Ta funkcja ma minimum pośrodku czerwonych kółek. A to minimum daje nam rozwiązanie bez kar.
Im większa kara, tym „węższe” niebieskie kontury, które otrzymujemy, a następnie wykresy spotykają się w punkcie bliższym zeru. I odwrotnie: im mniejsza kara, kontury rozszerzają się, a przecięcie niebieskich i czerwonych wykresów zbliża się do środka czerwonego koła (rozwiązanie bez kary).
Mam nadzieję, że to wyjaśni intuicję dotyczącą działania regresji karnej w przestrzeni parametrów.
źródło
Intuicja, którą mam, jest następująca: w przypadku najmniejszych kwadratów macierz kapelusza jest rzutem prostopadłym, a zatem idempotentnym. W ukaranym przypadku matryca kapelusza nie jest już idempotentna. W rzeczywistości zastosowanie go nieskończenie wiele razy spowoduje zmniejszenie współczynników do źródła. Z drugiej strony współczynniki wciąż muszą leżeć w zakresie predyktorów, więc nadal jest to projekcja, choć nie ortogonalna. Wielkość czynnika karającego i rodzaj normy kontrolują odległość i kierunek kurczenia się w kierunku źródła.
źródło