Uzyskaj łączny rozkład z parowania marginalnego rozkładu

Załóżmy, że mamy 3 zmienne losowe i znamy parowy rozkład krańcowy P ( X 1 , X 2 ) , P ( X 2 , X 3 ) , P ( X 3 , X 1 ) , ale nic nie wiemy (np. warunkowa niezależność). Czy możemy uzyskać wspólny rozkład P ( X 1 , X 2 , X 3$X_1,X_2,X_3$$P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$$P(X_1,X_2,X_3)$?

Nie.

Rozważmy trójwartościowy rozkład z dwuwymiarowymi (standardowymi, niezależnymi) marginesami normalnymi, ale z połową oktantów o zerowym prawdopodobieństwie i połową o podwójnym prawdopodobieństwie. W szczególności rozważ oktany ---, - ++, + - +, ++ - mają podwójne prawdopodobieństwo.

Wówczas marginesy dwuwymiarowe są nierozróżnialne od tego, który można uzyskać dzięki trzem standardowym zmiennym normalnym. Rzeczywiście, istnieje nieskończona liczba trójdzielnych rozkładów, które wytwarzałyby te same marginesy dwuwymiarowe

Jak zauważa Dilip Sawarte w komentarzach, omawiał w zasadzie ten sam przykład w odpowiedzi (ale odwracając oktany, które są podwojone i zerowane), i definiuje go w bardziej formalny sposób. Whuber wspomina o wariancie Bernoulliego, który (w przypadku trywialnym) wygląda następująco:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... gdzie byłby każdy dwuwymiarowy margines

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4    

i tak byłoby równoznaczne z przypadkiem trzech niezależnych zmiennych (lub faktycznie trzech z dokładnie odwrotną formą zależności).

Blisko spokrewniony przykład, o którym początkowo pisałem, dotyczył munduru trójskładnikowego z naprzemiennymi „wycinkami” we wzorze szachownicy o większym i mniejszym prawdopodobieństwie (uogólniając zwykłe zero i podwójne).

Tak więc nie można obliczyć ogólnie trójwartościowego marginesu dwuwymiarowego.