Oczekiwana wartość czasu oczekiwania na pierwszy z dwóch autobusów kursujących co 10 i 15 minut

19

Natknąłem się na pytanie w wywiadzie:

Co 10 minut przyjeżdża czerwony pociąg. Co 15 minut przyjeżdża niebieski pociąg. Oba zaczynają się od przypadkowego czasu, więc nie masz żadnego harmonogramu. Jeśli przyjeżdżasz na stację w przypadkowym czasie i jeździsz pociągiem, który przyjeżdża pierwszy, jaki jest oczekiwany czas oczekiwania?

Shengjie Zhang
źródło
3
Czy pociągi przyjeżdżają na czas, ale z nieznanymi równo rozłożonymi fazami, czy też postępują zgodnie z procesem poissona ze środkami 10 minut i 15 minut.
Tilefish Poele
1
Ten pierwszy, nie poisson.
Shengjie Zhang
7
@Tilefish robi ważny komentarz, na który wszyscy powinni zwrócić uwagę. Nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Musisz założyć, co może oznaczać „zacząć od przypadkowego czasu”. (Czy to oznacza, że ​​zaczynają się jednocześnie lub że zaczynają w różnych nieznanych czasach? Co uzasadniałoby traktowanie „nieznanego” jako zmiennej losowej o określonym znanym rozkładzie?) W zależności od różnicy faz (która ma znaczenie tylko modulo 5 minut), odpowiedź może się wahać od 15/4 do 25/6 . Rozkład jednolity różnicy fazowej, że wydajność 35/9 .
whuber
@ whuber wszyscy wydawali się interpretować komentarz OP tak, jakby dwa autobusy jechały w dwóch różnych losowych momentach. To, że
zaczęliby
1
@Aksakal. Nie wszyscy: nie wiem, a przynajmniej jedna odpowiedź w tym wątku nie - dlatego widzimy różne odpowiedzi numeryczne. Co więcej, prawie nikt nie uznaje faktu, że musiał dokonać takiej interpretacji pytania, aby uzyskać odpowiedź.
whuber

Odpowiedzi:

15

Jednym ze sposobów podejścia do problemu jest rozpoczęcie od funkcji przetrwania. Aby poczekać co najmniej minut, musisz poczekać co najmniej t minut zarówno na czerwony, jak i niebieski pociąg. Tak więc ogólna funkcja przeżycia jest tylko produktem poszczególnych funkcji przeżycia:tt

S(t)=(1t10)(1t15)

co dla jest prawdopodobieństwem, że będziesz musiał czekać co najmniej t minut na następny pociąg. Uwzględnia to wyjaśnienie PO w komentarzu, że poprawne założenia należy przyjąć, że każdy pociąg ma ustalony rozkład jazdy niezależnie od drugiego i czasu przybycia podróżnego oraz że fazy dwóch pociągów są równomiernie rozmieszczone ,0t10t

Następnie pdf otrzymuje się jako

p(t)=(1S(t))=110(1t15)+115(1t10)

A oczekiwaną wartość uzyskuje się w zwykły sposób:

,E[t]=010tp(t)dt=010t10(1t15)+t15(1t10)dt=010(t6t275)dt

który działa do minut359

Dave
źródło
Dave, czy możesz wyjaśnić, w jaki sposób p (t) = (1- s (t)) '?
Chef1075
Mogę wyjaśnić, że dla ciebie S (t) = 1-F (t), p (t) jest po prostu f (t) = F (t) '.
Deep North
4
Pomysł funkcji przetrwania jest świetny. Ale po co czerpać PDF, skoro można bezpośrednio zintegrować funkcję przeżycia, aby uzyskać oczekiwanie? W efekcie dwie trzecie tej odpowiedzi pokazuje jedynie podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego na konkretnym przykładzie. A co uzasadnia użycie produktu w celu uzyskania ? Za tym kryje się ukryte założenie. S
whuber
2
@ whuber Wolę to podejście, wyprowadzając plik PDF z funkcji przeżycia, ponieważ poprawnie obsługuje przypadki, w których domena zmiennej losowej nie zaczyna się od 0.
Dave
2
(1) Twoja domena jest pozytywna. (2) Formuła jest łatwa do uogólnienia. .
Whuber
9

Odpowiedź brzmi: Get części wewnątrz nawiasach: y<xydr=r2/2| x 0 =x2/2y>xxdy=xY| 15 x =15x-x2 Więc część jest: (.)=(y<xydy+

E[t]=xymin(x,y)110115dxdy=x(y<xydy+y>xxdy)110115dx
y<xyrey=y2)/2)|0x=x2)/2)
y>xxrey=xy|x15=15x-x2)
Wreszcie E [ t ] = x ( 15 x - x 2 / 2 ) 1
(.)=(y<xyrey+y>xxrey)=15x-x2)/2)
E[t]=x(15xx2/2)110115dx=(15x2/2x3/6)|010110115=(1500/21000/6)110115=510/93.89

Oto kod MATLAB do symulacji:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)
Aksakal
źródło
1
Podejmujesz błędne założenia dotyczące początkowego punktu początkowego pociągów. tj. używając logiki, ile czerwonych i niebieskich pociągów przyjeżdża co 2 godziny? Ile pociągów ogółem w ciągu 2 godzin? itp.
Tilefish Poele
1
Czy pociągi nie mogą przyjechać w minucie 0 i 60?
Tilefish Poele
1
a co, jeśli zaczną w tym samym czasie, staram się powiedzieć? Co się stanie, jeśli oba zaczną od minuty 0. Ile masz pociągów przyjeżdżających?
Tilefish Poele
1
Symulacja nie naśladuje dokładnie opisu problemu. W szczególności, nie ma modelu, w którym „losowy czas” ty pojawić na dworcu autobusowym. Jako taki zawiera kilka niepotwierdzonych założeń dotyczących problemu.
whuber
2
@ Whuber emuluje fazę autobusów w stosunku do mojego przyjazdu na stację
Aksakal
4

Zakładając, że każdy pociąg ma ustalony rozkład jazdy niezależny od drugiego i czasu przybycia podróżnego, prawdopodobieństwo, że żaden pociąg nie dotrze do pierwszego x minut jest 10-x10×15-x15 dla 0x10, który po zintegrowaniu daje 3593,889 minuty

Alternatywnie, zakładając, że każdy pociąg jest częścią procesu Poissona, łączna stawka wynosi 115+110=16 trenuje minutę, zapewniając oczekiwany czas oczekiwania 6 minuty

Henz
źródło
3
@Dave jest w porządku, jeśli wsparciem są nieujemne liczby rzeczywiste.
Neil G
3
@dave Brakuje mu uzasadnienia, ale jest to właściwe rozwiązanie, o ile zakładasz, że przyjazd pociągów jest równomiernie rozłożony (tj. ustalony rozkład jazdy ze znanymi stałymi czasami między pociągami, ale nieznanym przesunięciem). Działa z dowolną liczbą pociągów. Jest tak, ponieważ oczekiwana wartość nieujemnej zmiennej losowej jest całką jej funkcji przeżycia.
Neil G
1
@Dave z jednym pociągiem na stałe 10 minutowy rozkład jazdy niezależny od przybycia podróżnika, integrujesz 10-x10 koniec 0x10 na oczekiwany czas oczekiwania 5 minut, z procesem Poissona z szybkością λ=110 integrujesz mi-λx koniec 0x< na oczekiwany czas oczekiwania 1λ=10minut
Henry
1
@NeilG TIL, że „oczekiwana wartość nieujemnej zmiennej losowej jest całką funkcji przetrwania”, niejako - istnieje pewna podstępność w tym, że dziedzina zmiennej losowej musi zaczynać się od 0, a jeśli nie zaczyna się samoistnie od zera (np. w przypadku innego problemu, w którym czasy między przyjazdami były równomiernie rozłożone między 5 a 10 minut), w rzeczywistości należy zastosować dolną granicę 0 podczas integracji funkcji przeżycia . (począwszy od 0 jest wymagane, aby uzyskać ograniczenie granicy do anulowania po wykonaniu integracji przez części)
Dave
3
+1 W tej chwili jest to unikalna odpowiedź, która wyraźnie mówi o swoich założeniach. Wszyscy inni przyjmują pewne krytyczne założenia, nie uznając ich.
whuber
2

Prawdopodobnie się mylę, ale zakładając, że czas startu każdego pociągu jest zgodny z jednolitym rozkładem, powiedziałbym, że przyjeżdżając na stację w przypadkowym czasie, oczekiwany czas oczekiwania na:

  1. REd Train jest mi[R]=5 min
  2. bkolejka jest mi[b]=7.5 min
  3. pierwszy jest pociąg mi[min(R,b)]=1510(mi[b]-mi[R])=154=3,75 min


Jak wskazano w komentarzach, zrozumiałem „Oba rozpoczynają od przypadkowego czasu”, ponieważ „dwa pociągi rozpoczynają w tym samym losowym czasie”. Co jest bardzo ograniczającym założeniem.

utrzymać przy życiu
źródło
1
Dzięki! Masz poprawną odpowiedź. Ale 3. wciąż nie jest dla mnie oczywiste. Czy możesz wyjaśnić coś więcej?
Shengjie Zhang
1
To nie jest właściwa odpowiedź
Aksakal
1
Myślę, że podejście jest w porządku, ale twój trzeci krok nie ma sensu.
Neil G
2
Ta odpowiedź zakłada, że ​​w pewnym momencie pociągi czerwony i niebieski przyjeżdżają jednocześnie: to znaczy, że są w fazie. Inne odpowiedzi mają inne założenie dotyczące tej fazy.
whuber
2

Załóżmy, że czerwone i niebieskie pociągi przyjeżdżają punktualnie zgodnie z rozkładem, z początkiem czerwonego rozkładu Δ dla niektórych minut po niebieskim planie 0Δ<10. Dla pewności załóżmy, że pierwszy niebieski pociąg przyjeżdża o czasiet=0.

Załóżmy na razie, że Δ kłamstwa pomiędzy 0 i 5minuty. pomiędzyt=0 i t=30 minut zobaczymy następujące pociągi i czasy międzywojenne: niebieski pociąg, Δczerwony pociąg 10czerwony pociąg 5-Δ, niebieski pociąg, Δ+5czerwony pociąg 10-Δ, niebieski pociąg. Następnie harmonogram się powtarza, zaczynając od ostatniego niebieskiego pociągu.

Gdyby W.Δ(t) oznacza czas oczekiwania na pasażera przybywającego na stację w danym momencie t, a następnie fabuła W.Δ(t) przeciw t jest fragmentarycznie liniowy, a każdy segment linii zmniejsza się do zera wraz ze spadkiem -1. Średni czas oczekiwania to obszar z0 do 30 tablicy trójkątów podzielonej przez 30. To daje

W.¯Δ: =130(12)[Δ2)+102)+(5-Δ)2)+(Δ+5)2)+(10-Δ)2)])=130(2)Δ2)-10Δ+125).
Zauważ, że w powyższym wydaniu przyjeżdża czerwony pociąg Δ+5minut po niebieskim pociągu. Ponieważ harmonogram powtarza się co 30 minut, zakończW.¯Δ=W.¯Δ+5i wystarczy rozważyć 0Δ<5.

Gdyby Δ nie jest stała, ale zamiast równomiernie rozmieszczonej zmiennej losowej, otrzymujemy średni średni czas oczekiwania wynoszący

15Δ=05130(2)Δ2)-10Δ+125)reΔ=359.
grand_chat
źródło
2

To jest proces Poissona. Czerwony pociąg przyjeżdża zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem prędkości 6 / godzinę.
Przyjeżdża również niebieski pociąg według rozkładu Poissona z prędkością 4 / godzinę. Przyjazdy pociągu czerwonego i niebieskiego są niezależne. Łączna liczba przyjazdów pociągów to także Poisson z stawką 10 / godzinę. Ponieważ suma czasu między przyjazdami pociągów jest wykładnicza i wynosi średnio 6 minut. Ponieważ średnia wykładnicza jest odwrotnością parametru szybkości Poissona. Ponieważ rozkład wykładniczy jest bez pamięci, oczekiwany czas oczekiwania wynosi 6 minut.

Alison
źródło
Poisson to założenie, które nie zostało określone przez PO. Ale pewne takie założenia są konieczne. Logika jest nienaganna. +1 Podoba mi się to rozwiązanie.
Michael R. Chernick
1
OP stwierdził w komentarzach, że proces ten nie jest
Poissonem