Natknąłem się na pytanie w wywiadzie:
Co 10 minut przyjeżdża czerwony pociąg. Co 15 minut przyjeżdża niebieski pociąg. Oba zaczynają się od przypadkowego czasu, więc nie masz żadnego harmonogramu. Jeśli przyjeżdżasz na stację w przypadkowym czasie i jeździsz pociągiem, który przyjeżdża pierwszy, jaki jest oczekiwany czas oczekiwania?
probability
random-variable
expected-value
Shengjie Zhang
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Jednym ze sposobów podejścia do problemu jest rozpoczęcie od funkcji przetrwania. Aby poczekać co najmniej minut, musisz poczekać co najmniej t minut zarówno na czerwony, jak i niebieski pociąg. Tak więc ogólna funkcja przeżycia jest tylko produktem poszczególnych funkcji przeżycia:t t
co dla jest prawdopodobieństwem, że będziesz musiał czekać co najmniej t minut na następny pociąg. Uwzględnia to wyjaśnienie PO w komentarzu, że poprawne założenia należy przyjąć, że każdy pociąg ma ustalony rozkład jazdy niezależnie od drugiego i czasu przybycia podróżnego oraz że fazy dwóch pociągów są równomiernie rozmieszczone ,0≤t≤10 t
Następnie pdf otrzymuje się jako
A oczekiwaną wartość uzyskuje się w zwykły sposób:
,E[t]=∫100tp(t)dt=∫100t10(1−t15)+t15(1−t10)dt=∫100(t6−t275)dt
który działa do minut359
źródło
Odpowiedź brzmi: Get części wewnątrz nawiasach: ∫y<xydr=r2/2| x 0 =x2/2∫y>xxdy=xY| 15 x =15x-x2 Więc część jest: (.)=(∫y<xydy+
Oto kod MATLAB do symulacji:
źródło
Zakładając, że każdy pociąg ma ustalony rozkład jazdy niezależny od drugiego i czasu przybycia podróżnego, prawdopodobieństwo, że żaden pociąg nie dotrze do pierwszegox minut jest 10 - x10× 15 - x15 dla 0 ≤ x ≤ 10 , który po zintegrowaniu daje 359≈ 3,889 minuty
Alternatywnie, zakładając, że każdy pociąg jest częścią procesu Poissona, łączna stawka wynosi115+ 110= 16 trenuje minutę, zapewniając oczekiwany czas oczekiwania 6 minuty
źródło
Prawdopodobnie się mylę, ale zakładając, że czas startu każdego pociągu jest zgodny z jednolitym rozkładem, powiedziałbym, że przyjeżdżając na stację w przypadkowym czasie, oczekiwany czas oczekiwania na:
Jak wskazano w komentarzach, zrozumiałem „Oba rozpoczynają od przypadkowego czasu”, ponieważ „dwa pociągi rozpoczynają w tym samym losowym czasie”. Co jest bardzo ograniczającym założeniem.
źródło
Załóżmy, że czerwone i niebieskie pociągi przyjeżdżają punktualnie zgodnie z rozkładem, z początkiem czerwonego rozkładuΔ dla niektórych minut po niebieskim planie 0 ≤ Δ < 10 . Dla pewności załóżmy, że pierwszy niebieski pociąg przyjeżdża o czasiet = 0 .
Załóżmy na razie, żeΔ kłamstwa pomiędzy 0 i 5 minuty. pomiędzyt = 0 i t = 30 minut zobaczymy następujące pociągi i czasy międzywojenne: niebieski pociąg, Δ czerwony pociąg 10 czerwony pociąg 5 - Δ , niebieski pociąg, Δ + 5 czerwony pociąg 10 - Δ , niebieski pociąg. Następnie harmonogram się powtarza, zaczynając od ostatniego niebieskiego pociągu.
GdybyW.Δ( t ) oznacza czas oczekiwania na pasażera przybywającego na stację w danym momencie t , a następnie fabuła W.Δ( t ) przeciw t jest fragmentarycznie liniowy, a każdy segment linii zmniejsza się do zera wraz ze spadkiem - 1 . Średni czas oczekiwania to obszar z0 do 30 tablicy trójkątów podzielonej przez 30 . To daje
GdybyΔ nie jest stała, ale zamiast równomiernie rozmieszczonej zmiennej losowej, otrzymujemy średni średni czas oczekiwania wynoszący
źródło
To jest proces Poissona. Czerwony pociąg przyjeżdża zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem prędkości 6 / godzinę.
Przyjeżdża również niebieski pociąg według rozkładu Poissona z prędkością 4 / godzinę. Przyjazdy pociągu czerwonego i niebieskiego są niezależne. Łączna liczba przyjazdów pociągów to także Poisson z stawką 10 / godzinę. Ponieważ suma czasu między przyjazdami pociągów jest wykładnicza i wynosi średnio 6 minut. Ponieważ średnia wykładnicza jest odwrotnością parametru szybkości Poissona. Ponieważ rozkład wykładniczy jest bez pamięci, oczekiwany czas oczekiwania wynosi 6 minut.
źródło