Jestem naprawdę zaskoczony, że wydaje się, że nikt już o to nie pytał ...
Podczas omawiania estymatorów dwa często używane terminy są „spójne” i „obiektywne”. Moje pytanie jest proste: jaka jest różnica?
Dokładne techniczne definicje tych terminów są dość skomplikowane i trudno jest zrozumieć ich znaczenie . Mogę sobie wyobrazić dobry estymator i zły estymator, ale mam problem z dostrzeżeniem, w jaki sposób dowolny estymator może spełnić jeden warunek, a nie drugi.
unbiased-estimator
estimators
consistency
MathematicalOrchid
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Aby zdefiniować dwa terminy bez użycia zbyt dużego języka technicznego:
Estymator jest spójny, jeśli wraz ze wzrostem wielkości próby oszacowania (wytworzone przez estymator) „zbiegają się” z prawdziwą wartością szacowanego parametru. Mówiąc nieco dokładniej - spójność oznacza, że wraz ze wzrostem wielkości próby rozkład próbkowania estymatora staje się coraz bardziej skoncentrowany na rzeczywistej wartości parametru.
Estymator jest bezstronny, jeśli średnio osiąga prawdziwą wartość parametru. Oznacza to, że średnia rozkładu próbkowania estymatora jest równa rzeczywistej wartości parametru.
Te dwa nie są równoważne: Bezstronność jest stwierdzeniem o oczekiwanej wartości rozkładu próbkowania estymatora. Spójność to stwierdzenie dotyczące „dokąd zmierza rozkład próbkowania estymatora” wraz ze wzrostem wielkości próby.
Z pewnością możliwe jest spełnienie jednego warunku, ale nie drugi - podam dwa przykłady. Dla obu przykładów rozważyć przykładowy z populacji N ( μ , σ 2 ) .X1,...,Xn N(μ,σ2)
Bezstronny, ale niespójny: Załóżmy, że szacujesz . Zatem X 1 jest obiektywnym estymatorem μ, ponieważ E ( X 1 ) = μ . Ale X 1 nie jest spójny, ponieważ jego rozkład nie staje się bardziej skoncentrowany wokół μ wraz ze wzrostem wielkości próbki - zawsze wynosi N ( μ , σ 2 ) !μ X1 μ E(X1)=μ X1 μ N(μ,σ2)
Spójny, ale nie bezstronny: Załóżmy, że szacujesz . Maksymalny estymator prawdopodobieństwa jest σ 2 = 1σ2 gdzie ¯ X jest średnią próbki. Faktem jest, żeE( σ 2)=n-1
źródło
Spójność estymatora oznacza, że wraz ze wzrostem wielkości próbki oszacowanie zbliża się do prawdziwej wartości parametru. Bezstronność to skończona właściwość próbki, na którą nie ma wpływu zwiększenie wielkości próbki. Szacunek jest bezstronny, jeśli jego oczekiwana wartość jest równa prawdziwej wartości parametru. Będzie to prawdziwe dla wszystkich wielkości próbek i jest dokładne, podczas gdy konsystencja jest asymptotyczna i tylko jest w przybliżeniu równa i nie jest dokładna.
Zaktualizuj po dyskusji w komentarzach z @cardinal i @ Macro: Jak opisano poniżej, są najwyraźniej patologiczne przypadki, w których wariancja nie musi wynosić 0, aby estymator był silnie spójny, a odchylenie nawet nie musi iść do 0 albo.
źródło
Spójność: bardzo dobrze wyjaśniona wcześniej [wraz ze wzrostem wielkości próby oszacowania (wytworzone przez estymator) „zbiegają się” z prawdziwą wartością szacowanego parametru]
Bezstronność: Spełnia założenia 1-5 MLR znane jako Twierdzenie Gaussa-Markowa
Następnie mówi się, że estymator jest NIEBIESKI (najlepszy liniowy obiektywny estymator
źródło