Czy to ważne, jak próbkujesz populację?

Mam dobrze wymieszaną kadzinę zawierającą nieskończoną liczbę kulek. W kadzi jest nieskończona ilość kulek, ale występują one tylko w nieznanej, ale skończonej liczbie odmian : jest nieznany, a dla narysowanie marmuru typu może być bardziej prawdopodobne niż narysowanie marmuru typu .

V. = {v_{1}, v_{2)}, v_{3)}, . . ., v_{k}}

$\mathcal{V} = \{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{k}\}$

k

$k$

i \neq j

$i\neq j$

v_{i}

$v_i$

v_{j}

$v_j$

W eksperymencie maszyna próbkuje kadź przy użyciu nieznanej procedury. Maszyna zgłasza zestaw opisujący odmian kulek z próbki: $X$ $q\leq k$

X \subseteq V.; | X | = q

$X \subseteq \mathcal{V}; \quad |X|=q$

Próby tego eksperymentu są powtarzane ( jest ustalone między próbami) i otrzymujemy sekwencję podzbiorów , . $q$ $\mathcal{V}$ $(X_1,X_2,\dots)$

Jedyne inne rzeczy, które wiemy to:

próby są niezależne i identyczne
maszyna zgłasza najczęściej występujące odmiany w swojej próbce $q$

Nie wiemy dokładnie, jak maszyna próbkuje kulki. Może wybrać dużą liczbę kulek, a następnie zgłosić najczęściej. Alternatywnie może zbierać kulki, dopóki nie będzie odmian. Są też inne rzeczy, które mógłby zrobić. $q$ $q$

Czy na przebieg naszych prób będzie miała wpływ procedura próbkowania maszyny? $(X_1,X_2,\dots)$

probability population Christian Chapman
źródło

+1 To świetne pytanie, ponieważ docenia to, że losowe pobieranie próbek ma więcej niż niejasną formę arbitralności lub braku wiedzy na temat procedury pobierania próbek.

whuber

Zasada próbkowania z pewnością będzie miała znaczenie. W przeciwnym razie rozważ tę procedurę: maszyna, na każdej próbie, zawsze wybiera pojedynczy marmur typu 1 (pierwsza odmiana). Każde losowanie będzie niezależne i będzie miało identyczny rozkład (trywialnie), a otrzymasz q = 1, całkowicie niepomocny wynik.

AlaskaRon,

Odpowiedzi:

Prostym sposobem sprawdzenia, czy metoda ma znaczenie, jest wybranie określonych prawdopodobieństw dla rodzajów marmurów i obliczenie szansy każdego podzbioru zgodnie z niektórymi metodami. Nie może to jednak udowodnić, że metoda nie ma znaczenia.

Załóżmy, że są $3$ typy i szanse każdego typu są $1/2$ , $1/4$ , i $1/4$ odpowiednio. Załóżmy, że wybierasz $2$ rodzaje kulek.

Załóżmy, że po wybraniu marmuru ignorujesz resztę tego rodzaju. Szansa, którą masz $\lbrace v_2,v_3\rbrace$ jest $2*1/4*1/3 = 1/6$ .

Załóżmy, że odrzucasz pary z powtarzającymi się typami. Szansa na $\lbrace v_2,v_3\rbrace$ jest

\frac{2) * 1 / 4 * 1 / 4}{2) * 1 / 4 * 1 / 4 + 2) * 1 / 2) * 1 / 4 + 2) * 1 / 2) * 1 / 4} = \frac{1 / 8}{1 / 8 + 1 / 4 + 1 / 4} = 1 / 5

$\frac{2*1/4*1/4}{2*1/4*1/4 + 2*1/2*1/4 + 2*1/2*1/4} = \frac{1/8}{1/8 + 1/4 + 1/4} = 1/5.$

Ponieważ są one różne, metoda, z której korzysta maszyna, ma znaczenie. Odrzucanie par z typami powtarzanymi powoduje, że pary zwykłych typów są mniej obciążone.

Dwie z wymienionych metod są równoważne. Ignorowanie reszty tego rodzaju po zerwaniu marmuru jest tym samym, co zrywanie, dopóki go nie masz $q$ różne rodzaje.

Douglas Zare
źródło