Dystrybucja, która ma zakres od 0 do 1 i ze szczytem między nimi?

Czy istnieje rozkład lub czy mogę pracować z innego rozkładu, aby utworzyć taki rozkład na poniższym obrazku (przepraszam za złe rysunki)?

gdzie podaję liczbę (0,2, 0,5 i 0,9 w przykładach) dla tego, gdzie powinien być pik oraz odchylenie standardowe (sigma), które powoduje, że funkcja jest szersza lub mniej szeroka.

PS: Gdy podana liczba wynosi 0,5, rozkład jest rozkładem normalnym.

Jednym możliwym wyborem jest rozkład beta , ale ponownie sparametryzowany pod względem średniej i precyzji ϕ , to znaczy: „dla ustalonego μ , im większa wartość ϕ , tym mniejsza wariancja y ” (patrz Ferrari i Cribari- Neto, 2004). Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest konstruowana przez zastąpienie standardowych parametrów rozkładu beta przez α = ϕ μ i β = ϕ ( 1 - μ $\mu$$\phi$$\mu$$\phi$$y$$\alpha = \phi\mu$$\beta = \phi(1-\mu)$

gdzie i V a r ( Y ) = μ ( 1 - μ $E(Y) = \mu$ .$\mathrm{Var}(Y) = \frac{\mu(1-\mu)}{1+\phi}$

Alternatywnie można obliczyć odpowiednie parametry i β , które doprowadziłyby do rozkładu beta z wcześniej zdefiniowaną średnią i wariancją. Zauważ jednak, że istnieją ograniczenia dotyczące możliwych wartości wariancji, które obowiązują dla rozkładu beta. Dla mnie osobiście parametryzacja za pomocą precyzji jest bardziej intuicyjna (pomyśl o $\alpha$$\beta$ proporcje wrozkładzie dwumianowym X , przy wielkości próby ϕ i prawdopodobieństwie sukcesu μ ).$x\,/\,\phi$ $X$$\phi$$\mu$

Rozkład Kumaraswamy jest kolejnym ograniczonym rozkładem ciągłym, ale trudniej byłoby ponownie sparametryzować jak powyżej.

Jak zauważyli inni, nie jest to normalne, ponieważ rozkład normalny ma obsługę , więc w najlepszym razie można użyć obciętej wartości normalnej jako przybliżenia.$(-\infty, \infty)$

_{Ferrari, S., i Cribari-Neto, F. (2004). Regresja beta dla stawek i proporcji modelowania. Journal of Applied Statistics, 31 (7), 799-815.}

$\frac{\alpha}{(\alpha + \beta)}$

$y=\frac{exp(x)}{1+exp(x)}$$y$$x$

$\frac{exp(x)}{1+exp(x)}$

$y=F(x)$$F()$$y$$F()$$x$$x$$y$$x$$y$

$y$$x$$F()$

Jeśli ktoś jest zainteresowany rozwiązaniem zastosowałem w Pythonie do generowania losowej wartości zbliżonej do podanej liczby jako parametru. Moje rozwiązanie składa się z czterech etapów. Na każdym etapie szansa, że ​​wygenerowana liczba jest bliższa podanej liczbie, jest większa.

Wiem, że rozwiązanie nie jest tak piękne, jak użycie jednej dystrybucji, ale w ten sposób udało mi się rozwiązać mój problem:

number_factory.py:

import random
import numpy as np

class NumberFactory:
    def __init__(self):
        self.functions = [self.__linear, self.__exponential_point_four, self.__exponential_point_three, self.__exponential_point_twenty_five]  
        self.stage = 0

    def next_stage(self):
        self.stage += 1

    def get_mutated_number(self, number):
         # True if the generated number will be higher than the given number
         # False if the generated number will be lower than the given number
        add = bool(np.random.choice([0,1], p=[number, 1-number]))

        # Generate a number between 0 and 1 that will be used
        # to multiply the new number by which the number parameter will be substracted or added
        # The bigger the stage number (0-3) the more change that the mutated number is close to the number parameter
        multiply_number_seed = random.uniform(0, 1)
        multiply_number = self.functions[self.stage](multiply_number_seed)

        if (add):
            return number+((1-number)*multiply_number)
        else:
            return number-(number*multiply_number)

    def __linear(self, x):
        return -x+1

    def __exponential_point_four(self, x):
        return 0.4*x**2 - 1.4*x + 1

    def __exponential_point_three(self, x):
        return 0.8*x**2 - 1.8*x + 1

    def __exponential_point_twenty_five(self, x):
        return x**2 - 2*x + 1

    def get_stage(self):
        return self.stage

main.py:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

factory = NumberFactory()
numbers = []

factory.next_stage()
factory.next_stage()
factory.next_stage()

for _ in range(100000):
    numbers.append(factory.get_mutated_number(0.3))

bins = 100

plt.hist(numbers, bins, normed=True)
plt.plot(1, np.ones_like(bins))
plt.show()

wynik podczas wykonywania tego kodu pokazano na poniższym obrazku:

Możesz rzucić okiem na „Krzywe Johnsona”. Zobacz NL Johnson: Systemy krzywych częstotliwości generowane metodami tłumaczenia. 1949 Biometrika Tom 36 str. 149-176. R ma wsparcie dla dopasowania ich do dowolnych krzywych. W szczególności przydatne mogą być jego krzywe SB (ograniczone).

Minęło 40 lat, odkąd ich użyłem, ale były one dla mnie bardzo przydatne i myślę, że będą dla ciebie działać.