Czy różnica między dwoma symetrycznymi RV ma również rozkład symetryczny?

Jeśli mam dwa różne rozkłady symetryczne (w odniesieniu do mediany) $X$ i $Y$ jest różnica $X-Y$ również symetryczny (w odniesieniu do mediany) rozkład?

distributions median Alessio93
źródło

Dystrybucja

X - Y

$X-Y$ nie jest „różnicą między dwoma rozkładami”, to rozkład różnicy między losowo zmiennymi rozmieszczonymi symetrycznie; Różnica w rozkładach byłaby

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$ ; który nie jest dystrybucją; podobnie różnica między plikami pdf nie byłaby

plikiem

@Glen_b: Zredagowałem tytuł OP, aby tak powiedzieć, ale w przyszłości proszę o jego edycję. Potocznie myślę, że wszyscy rozumieli, co oznacza OP.

smci

@smci Właściwie zdecydowałem się poprosić OP o zrobienie tego, a nie robienie tego sam z jakiegoś powodu (jeśli sprawdzisz mój profil, zobaczysz, że mam ponad 3100 edytowanych postów - rozumiem ogólne zasady dotyczące edycji). Dzięki za pomoc. Myślę też, że trochę więcej uwagi w wyrażaniu tego, co oznacza, rozwiąże znaczną część pytań początkujących na stronie; i myślę, że jasność jest szczególnie ważna w tytule.

Glen_b

Odpowiedzi:

Pozwolić $X \sim f(x)$ i $Y \sim g(y)$ być plikami PDF symetrycznymi względem median $a$ i $b$ odpowiednio. Tak długo jak $X$ i $Y$ są niezależne, rozkład prawdopodobieństwa różnicy $Z = X - Y$ jest splot $X$ i $-Y$ , tj

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

gdzie $h(y) = g(-y)$ to po prostu plik PDF $-Y$ z medianą $-b.$

Intuicyjnie spodziewalibyśmy się, że wynik będzie symetryczny $a - b$ więc spróbujmy tego.

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

W drugim wierszu użyłem podstawienia $v = b - y$ w całce. W trzeciej linii użyłem zarówno symetrii $f(x)$ o $a$ i $g(-y)$ o $-b.$ To świadczy o tym $p(z)$ jest symetryczny $a - b$ gdyby $f(x)$ jest symetryczny $a$ i $g(y)$ jest symetryczny $b.$

Gdyby $X$ i $Y$ nie były niezależne i $f$ i $g$ były po prostu rozkładami marginalnymi, wtedy musielibyśmy znać łączny rozkład, $X,Y \sim h(x,y).$ Następnie w całce musielibyśmy wymienić $f(z + y) g(-y)$ z $h(z + y, -y).$ Jednak tylko dlatego, że rozkłady krańcowe są symetryczne, nie oznacza to, że rozkład połączeń jest symetryczny względem każdego z jego argumentów. Dlatego nie można zastosować podobnego rozumowania.

Spalacze mostkowe
źródło

Będzie to zależeć od relacji między $x$ i $y$ , oto przeciwny przykład gdzie $x$ i $y$ są symetryczne, ale $x-y$ nie jest:

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Więc tutaj mediana $x-y$ to nie to samo co różnica median i $x-y$ nie jest symetryczny.

Edytować

Może to być wyraźniejsze w notacji @ whuber:

Rozważ dyskretny równomierny rozkład gdzie $x$ i $y$ są powiązane tak, że można wybrać tylko jedną z następujących par:

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Jeśli nalegasz na myślenie w pełnej wspólnej dystrybucji, rozważ przypadek, w którym $x$ może przyjąć dowolną z wartości $(-4, -2, 0, 2, 4)$ i $y$ może przyjąć wartości $(-3, -1, 0, 1, 3)$ i kombinacja może przyjąć dowolną z 25 par. Ale prawdopodobieństwo danej pary powyżej wynosi 16%, a wszystkie inne możliwe pary mają prawdopodobieństwo 1%. Rozkład krańcowy $x$ będzie jednostajnym dyskretnym, którego każda wartość ma prawdopodobieństwo 20%, a zatem symetryczna względem mediany 0, to samo dotyczy $y$ . Pobierz dużą próbkę ze wspólnego rozkładu i spójrz na to $x$ Lub tylko $y$ i zobaczysz jednolity rozkład krańcowy (symetryczny), ale weź różnicę $x-y$ a wynik nie będzie symetryczny.

Greg Snow
źródło

W ogóle nie rozumiem tego przykładu. Gdyby

X

$X$ może być równe 4 i

Y

$Y$ może być równa np. 1

X - Y

$X-Y$ powinna mieć 3 lata, ale nie podajesz tej możliwości. Może źle zrozumiałem twój przykład; jakie są te trzy wektory?

ameba

x

$x$ i

y

$y$ nie są niezależni w swoim przykładzie. Myśleć o

x

$x$ ,

y

$y$ , i

x - y

$x-y$ jako funkcje jakiejś zmiennej losowej

i

$i$ który indeksuje do każdego wektora. A następnie, jeśli

i = 0

$i=0$ ,

x = - 4

$x=-4$ ,

y = - 1

$y=-1$ , i

x - y = - 3

$x-y=-3$

Moormanly,

Jeśli zastanawiasz się

x

$x$ i

y

$y$ nie być niezależnym, to naprawdę oglądasz

(x, y)

$(x,y)$ jako zmienna losowa dwuwymiarowa . Jako taki wykazujesz, że marginesy symetryczne nie oznaczają, że rozkład połączeń jest symetryczny. To dobra obserwacja, ale zapis w tej odpowiedzi jest mylący. Łatwiej byłoby opisać dane w zapisie dwuwymiarowym jako

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$ .

whuber

@amoeba, To zależy od relacji między

X

$X$ i

Y

$Y$ , jeśli są niezależne lub słabo zależne, to tak, może być przypadek, jak mówisz, ale moim przykładem jest silna zależność między dwiema zmiennymi. Gdyby X miało wysokość w calach, a y wysokość w centymetrach, to

X = 10

$X=10$ jest możliwą wartością, oraz

Y = 1

$Y=1$ jest możliwą wartością, ale nie w tym samym czasie dla tego samego obiektu.

Greg Snow,

Komentarze i edycja wyjaśniły, co miałeś na myśli. Dzięki.

ameba

Będziesz musiał założyć niezależność między X i Y, aby to ogólnie się utrzymało. Wynik wynika bezpośrednio z dystrybucji $X-Y$ to splot funkcji symetrycznych, który jest również symetryczny.

Moormanly
źródło