Jeśli suma prawdopodobieństw zdarzeń jest równa prawdopodobieństwu ich zjednoczenia, czy oznacza to, że zdarzenia są rozłączne?

Prawdopodobieństwo aksjomatyczne to funkcja która przypisuje liczbę rzeczywistą każdemu zdarzeniu jeżeli spełnia trzy podstawowe założenia (założenia Kołmogorowa):$P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Moje pytanie brzmi: w ostatnim założeniu, czy zakłada się odwrotność? Jeśli pokażę, że prawdopodobieństwa dla pewnej liczby zdarzeń można dodać, aby uzyskać prawdopodobieństwo ich zjednoczenia, czy mogę bezpośrednio użyć tego aksjomatu, aby twierdzić, że zdarzenia są rozłączne?

Nie, ale można stwierdzić, że prawdopodobieństwo wystąpienia jakichkolwiek wspólnych zdarzeń wynosi zero.

Rozłączny oznacza, że dla dowolnego . Nie można tego stwierdzić, ale można stwierdzić, że dla wszystkich . Wszelkie wspólne elementy muszą mieć prawdopodobieństwo zerowe. To samo dotyczy wszystkich skrzyżowań wyższego rzędu.$A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

Innymi słowy, możesz powiedzieć z prawdopodobieństwem 1, że żaden z zestawów nie może wystąpić razem. Widziałem takie zestawy nazywane prawie rozłącznymi lub prawie na pewno rozłącznymi, ale myślę, że taka terminologia nie jest standardem.

Nie bardzo, na przykład, rozważ rozkład równomierny.

Niech i i dla .$A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

$P(A_1)=0.5$ i i sumują się do ale nie są rozłączne. .$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

Nadal mogą przecinać się z miarą prawdopodobieństwa .$0$