Użycie glm () jako zamiennika prostego testu chi kwadrat

Interesuje mnie zmiana hipotez zerowych za pomocą glm()R.

Na przykład:

x = rbinom(100, 1, .7)  
summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))

sprawdza hipotezę, że $p = 0.5$ . Co jeśli chcę zmienić wartość null na $p$ = jakąś dowolną wartość, w obrębie glm()?

Wiem, że można to zrobić również za pomocą prop.test()i chisq.test(), ale chciałbym zbadać pomysł użycia glm()do testowania wszystkich hipotez dotyczących danych kategorycznych.

Możesz użyć przesunięcia : glmz family="binomial"parametrami oszacowań na log-odds lub skali logit, więc odpowiada log-odds 0 lub prawdopodobieństwu 0,5. Jeśli chcesz porównać z prawdopodobieństwem p , chcesz, aby wartość wyjściowa wynosiła q = logit ( p ) = log ( p / ( 1 - p ) ) . Model statystyczny jest teraz$\beta_0=0$$p$$q = \textrm{logit}(p)=\log(p/(1-p))$

gdzie tylko ostatnia linia zmieniła się od standardowej konfiguracji. W kodzie R:

• użyj offset(q)w formule
• funkcja logit / log-odds to qlogis(p)
• nieco irytujące, musisz podać wartość przesunięcia dla każdego elementu w zmiennej odpowiedzi - R nie będzie automatycznie replikować stałej wartości dla ciebie. Odbywa się to poniżej poprzez ustawienie ramki danych, ale możesz po prostu użyć rep(q,100).

x = rbinom(100, 1, .7)
dd <- data.frame(x, q = qlogis(0.7)) 
summary(glm(x ~ 1 + offset(q), data=dd, family = "binomial"))

Spójrz na przedział ufności dla parametrów twojego GLM:

> set.seed(1)
> x = rbinom(100, 1, .7)
> model<-glm(x ~ 1, family = "binomial")
> confint(model)
Waiting for profiling to be done...
    2.5 %    97.5 % 
0.3426412 1.1862042 

Jest to przedział ufności dla logarytmicznych szans.

Dla mamy log ( o d d s ) = log $p=0.5$. Testując hipotezę, żep=$\log(odds) = \log \frac{p}{1-p} = \log 1 = 0$$p=0.5$ jest równoważne sprawdzeniu, czy przedział ufności zawiera 0. Ta nie ma, więc hipoteza jest odrzucana.

Teraz, dla dowolnego dowolnego , możesz obliczyć log-odds i sprawdzić, czy jest on w przedziale ufności.$p$

Używanie wartości p opartych na wartościach z / t w funkcji glm.summary jako testu hipotezy nie jest (całkowicie) poprawne / dokładne.

1. To jest mylący język. Podane wartości są nazywane wartościami Z. Ale w tym przypadku używają szacowanego błędu standardowego zamiast prawdziwego odchylenia. Dlatego w rzeczywistości są one bliższe wartościom t . Porównaj następujące trzy dane wyjściowe:
   1) Podsumowanie. Glm
   2) Test t
   3) Test Z.

   > set.seed(1)
   > x = rbinom(100, 1, .7)
   
   > coef1 <- summary(glm(x ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),length(x)), family = "binomial"))$coefficients
   > coef2 <- summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))$coefficients
   
   > coef1[4]  # output from summary.glm
   [1] 0.6626359
   > 2*pt(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),99,ncp=0) # manual t-test
   [1] 0.6635858
   > 2*pnorm(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),0,1) # manual z-test
   [1] 0.6626359

2. Nie są to dokładne wartości p. Dokładne obliczenie wartości p przy użyciu rozkładu dwumianowego działałoby lepiej (przy dzisiejszej mocy obliczeniowej nie jest to problemem). Rozkład t, zakładając rozkład błędu Gaussa, nie jest dokładny (przecenia p, przekroczenie poziomu alfa występuje rzadziej w „rzeczywistości”). Zobacz następujące porównanie:

   # trying all 100 possible outcomes if the true value is p=0.7
   px <- dbinom(0:100,100,0.7)
   p_model = rep(0,101)
   for (i in 0:100) {
     xi = c(rep(1,i),rep(0,100-i))
     model = glm(xi ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),100), family="binomial")
     p_model[i+1] = 1-summary(model)$coefficients[4]
   }
   
   
   # plotting cumulative distribution of outcomes
   outcomes <- p_model[order(p_model)]
   cdf <- cumsum(px[order(p_model)])
   plot(1-outcomes,1-cdf, 
        ylab="cumulative probability", 
        xlab= "calculated glm p-value",
        xlim=c(10^-4,1),ylim=c(10^-4,1),col=2,cex=0.5,log="xy")
   lines(c(0.00001,1),c(0.00001,1))
   for (i in 1:100) {
     lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i+1]),1-c(cdf[i+1],cdf[i+1]),col=2)
   #  lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i]),1-c(cdf[i],cdf[i+1]),col=2)
   }
   
   title("probability for rejection as function of set alpha level")

   

   Czarna krzywa przedstawia równość. Czerwona krzywa znajduje się poniżej. Oznacza to, że dla danej obliczonej wartości p za pomocą funkcji podsumowania glm znajdujemy tę sytuację (lub większą różnicę) w rzeczywistości rzadziej niż wskazuje wartość p.