Jak mogłem odkryć rozkład normalny?

16

Jakie było pierwsze wyprowadzenie rozkładu normalnego, czy możesz odtworzyć to wyprowadzenie, a także wyjaśnić je w kontekście historycznym ?

Chodzi mi o to, że gdyby ludzkość zapomniała o normalnym rozkładzie, jaki jest najbardziej prawdopodobny sposób, aby go odkryć na nowo i jakie byłoby najbardziej prawdopodobne pochodzenie? Sądzę, że pierwsze pochodne musiały powstać jako produkt uboczny od poszukiwania szybkich sposobów obliczania podstawowych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa, takich jak dwumianowe. Czy to jest poprawne?

statslearner
źródło
2
Nie jest bardzo trudno wymyślić rozkłady prawdopodobieństwa: weź jakąkolwiek dodatnią funkcję całkowitą, normalizuj ją, a tym samym masz gęstość prawdopodobieństwa. Teraz, jeśli chcesz wnioskować na podstawie prawdopodobieństwa na podstawie rodziny rozkładów, potrzebujesz logarytmu gęstości, aby był prostą funkcją wypukłą. Mówiąc dokładniej, jeśli chcesz, aby maksymalne prawdopodobieństwo zminimalizowało daną funkcję wypukłej straty, wykładniczy ubytek jest właściwym wyborem gęstości. Kwadratowy błąd powoduje rozkład normalny i może być najprostszym przykładem utraty wypukłej.
Olivier
1
@Olivier, tylko dlatego, że możesz łatwo wymyślić rozkład prawdopodobieństwa, nie oznacza to, że jest przydatny lub że pojawia się wszędzie. Odkrycie rozkładu gaussowskiego wiąże się z rozwiązywaniem rzeczywistych problemów, a nie tylko normalizacją funkcji.
statslearner
2
Istnieje już szereg pytań i odpowiedzi związanych z tą historią, które mogą odpowiedzieć na twoje pytanie lub częściowo na nie odpowiedzieć.
Glen_b
2
Warto przeczytać sekcję Wikipedii dotyczącą historii en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History . Wyciągam wniosek, że priorytetem jest, jak często, spór międzynarodowy. Możesz wybrać spośród De Moivre, Laplace, Gauss, ...
mdewey
2
Spójrz na to pytanie tutaj i odpowiedź: @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/... Myślę, że jednym ze sposobów, w jaki możesz odkryć normalny rozkład, jest dokonanie pomiarów i uświadomienie sobie, że istnieje niepewność / błąd związany z twoim pomiarem, tzn. jeśli będziesz powtarzał pomiary raz za razem, wynik nie będzie w 100% identyczny. Następnie chcesz obliczyć niepewność / błąd. A potem potrzebujesz rachunku różniczkowego :) Także odniesienie do Stahla jest naprawdę warte przeczytania!
Stefan

Odpowiedzi:

7

Sądzę, że pierwsze pochodne musiały powstać jako produkt uboczny od poszukiwania szybkich sposobów obliczania podstawowych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa, takich jak dwumianowe. Czy to jest poprawne?

Tak.

Krzywa normalna została opracowana matematycznie w 1733 r. Przez DeMoivre jako przybliżenie rozkładu dwumianowego . Jego praca została odkryta dopiero w 1924 roku przez Karla Pearsona. Laplace zastosował krzywą normalną w 1783 r. Do opisania rozkładu błędów. Następnie Gauss wykorzystał krzywą normalną do analizy danych astronomicznych w 1809 r.

Źródło: NORMAL DYSTRYBUCJA

Inne źródła w kontekście historycznym:

nex=lim(1+xn)nt22

Benoit Sanchez
źródło
Benoit, wyprowadzenie DeMoivre nie wydaje się elementarne, czy mógłbyś to uwzględnić w swojej odpowiedzi ?. Ta pochodna DeMoivre jest czymś, czego szukam (na marginesie, czy wiesz, czy wszystkie wyniki rachunku różniczkowego i przybliżenia - na przykład przybliżenia Stirlinga - były już dostępne dla DeMoivre, czy jest to nowoczesna wersja jego dowodu?)
statslearner
1
To nowoczesna wersja. Nie znam historycznej pochodnej DeMoire. Jedyne informacje historyczne, jakie posiadam, to artykuł wskazany przeze mnie i Stephana.
Benoit Sanchez
6

Stahl („Ewolucja normalnej dystrybucji”, Mathematics Magazine , 2006) twierdzi, że pierwsze historyczne ślady normalności pochodziły z hazardu, aproksymacji do rozkładów dwumianowych (dla danych demograficznych) i analizy błędów w astronomii.

Stephan Kolassa
źródło
4
Tak, ale w większości (wszystkich?) Tych przypadków rozkład normalny nie był wyraźny. To trochę przypomina konkluzję, że Ben Franklin znał (lub wynalazł) Równania Maxwella, ponieważ eksperymentował z elektrycznością.
whuber
Czy możesz podać pochodne dokonane przez tych autorów?
statslearner
Na przykład, jakiej matematyki potrzebowali, aby ją uzyskać?
statslearner
3

Na część historyczną pytania udzielono już odpowiedzi, być może, wiele razy na tym forum, np. Patrz zaakceptowana odpowiedź na podobne pytanie. Nie, nie zostało to odkryte jako przybliżenie dyskretnych rozkładów. Wątpię, by w tym czasie istniało pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa. Odkryli go faceci, którzy nazywają się fizykami lub matematykami, myślę, że wówczas filozofowie przyrody.

Ciekawe pytanie, w jaki sposób inna cywilizacja odkryłaby normalny rozkład. Każdy, kto bada wszelkiego rodzaju błędy i zakłócenia, znalazłby to. Stało się tak, że nasza cywilizacja znalazła go podczas badania ciał niebieskich. Wątpię, aby inni ludzie opracowali statystyki przed fizyką lub matematyką.

Aksakal
źródło
2

Zadałem sobie również to pytanie, a ten film na YouTube jest najlepszą odpowiedzią, jaką znalazłem

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Nie sądzę, że jest to oryginalna pochodna, ale opis filmu mówi: „Ten argument został zaadaptowany z pracy astronoma Johna Herschela w 1850 r. I fizyka Jamesa Clerk Maxwella w 1860 r.”

Sebastian
źródło
1

Tym, co wyróżnia rozkład normalny, jest Centralna Teoria Granic. Szczegółowe informacje i pochodzenie / dowód patrz: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

elliotp
źródło
11
To nie odpowiada na pytanie.
whuber
1
Przedmiotem pytania jest: Jak mogłem odkryć rozkład normalny? a odpowiedź z pewnością na to odpowiada.
G. Grothendieck,
1

exp(x2) . Następnie OP pyta: „Gdyby ludzkość zapomniała o normalnym podziale, w jaki sposób zostałaby na nowo odkryta”? To jest zupełnie inne pytanie. Myślę, że istotną odpowiedzią na to pytanie jest to, że 1) zapożycza perspektywę współczesnej nauki 2) zapewnia odpowiedź inną niż najczęściej spotykana odpowiedź historyczna, czyli Central Limit Theorym.

W mechanice kwantowej, teorii informacji i termodynamice entropia określa stan układu. W tych polach stan kwantowy jest w rzeczywistości całkowicie losowy lub stochastyczny. Porównaj to z mechaniką klasyczną. W mechanice klasycznej stany są ustalone, ale nasza obserwacja jest niedoskonała ze względu na udział setek lub milionów nieobserwowanych czynników wpływających: tego rodzaju wynik powoduje powstanie CLT.

W mechanice kwantowej używamy prawdopodobieństwa Bayesa do kwantyfikacji naszego przekonania o stanie układu. Wzdłuż tych linii przedstawiono i poprawiono dowody, że zmienna losowa Gaussa lub normalna ma maksymalną entropię wśród wszystkich zmiennych losowych ze średnią skończoną lub odchyleniem standardowym.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

AdamO
źródło