Wariancja rezystorów równolegle

10

Załóżmy, że masz zestaw rezystorów R, z których wszystkie są rozmieszczone ze średnią μ i wariancją σ.

Rozważ odcinek obwodu o następującym układzie: (r) || (r + r) || (r + r + r). Równoważny opór każdej części to r, 2r i 3r. Wariancja każdej sekcji wynosiłaby wtedy $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Jaka jest wariancja rezystancji całego obwodu?

Po próbkowaniu kilku milionów punktów stwierdziliśmy, że wariancja wynosi około $.10286\sigma^2$ .

Jak dojdziemy do tego wniosku analitycznie?

Edycja: Zakłada się, że wartości rezystancji są normalnie rozłożone z pewną średnią rezystancją ri wariancją $σ^2$ .

probability sampling variance lrAndroid
źródło

1

Nie jestem przekonany, że jest to właściwy model na początek. Czy znasz teorię szumu obwodu termicznego Nyquista-Johnsona ? Jeśli celowo robisz coś innego, warto zobaczyć motywację. W przeciwnym razie warto rozważyć bardziej standardowy model. :)

kardynał

Tak, pisząc moją próbę odpowiedzi, zdałem sobie również sprawę, że model najwyraźniej nie jest wykonalny, ponieważ został postawiony. Myślałem jednak, że jest to raczej problem akademicki niż praktyczny (w końcu przeprowadzają symulacje).

Néstor,

Przepraszam za posiadanie sigmy jako wariancji, pierwotnie użyłem VAR i ktoś edytował go do sigmy.

lrAndroid

Dziękuję za aktualizację. Nadal jestem zainteresowany motywacją tego pytania, jeśli chcesz dodać trochę do tego pytania. :)

kardynał

9

Równoważna rezystancja całego obwodu rozwiązuje Zakłada się, że , dla niektórych niezależnych zmiennych losowych , wyśrodkowanych i z wariancją . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Bez dalszych wskazówek nie można obliczyć wariancji , dlatego, aby pójść dalej, rozważamy reżim, w którym Następnie stąd gdzie Widzimy, że Co więcej, więc w granicy $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , i Te asymptotyki z i można uogólnić na dowolną liczbę rezystancji równolegle, z których każda jest wynikiem rezystancji elementarnej szeregowo, przy czym rezystancje elementarne są niezależne i każda ze średnią i wariancją . Następnie, gdy , gdzie

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

Zrobił
źródło

8

Nie sądzę, że dokładna odpowiedź zależy tylko od i . Podczas pobierania próbek przypuszczam, że musiałeś zastosować jakiś konkretny rozkład - prawdopodobnie rozkład normalny? W każdym razie możemy obliczyć średnią i wariancję rezystancji obwodu w przybliżeniu liniowym, a wtedy dokładna postać rozkładu nie ma znaczenia. $\mu$ $\sigma^2$

Rezystancja obwodu wynosi . W przybliżeniu liniowym średnia i wariancja odwrotności zmiennej losowej ze średnią i wariancją wynoszą odpowiednio i . Mamy więc sumę terminów ze średnimi , i i wariancjami , i odpowiednio, co daje średnią i wariancję $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . odwrotności tego daje średnią i wariancję , zgodnie z twoim wynikiem. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

joriki
źródło

Zakłada się to oczywiście przy założeniu, że rezystory są niezależnymi zmiennymi losowymi.

@Robert: Tak (raczej opory). Zostało to już założone przy obliczaniu wariancji , i w pytaniu i ma to sens fizyczny (chociaż jeśli weźmiemy wszystkie rezystory z tej samej partii produkcji, ich rezystancje będą nieco skorelowane ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

joriki,

Oczywiście w prawdziwym projekcie rezystancje są dalekie od niezależnych pojazdów RV. W rzeczywistości wiele pracy zajmuje układ, aby niektóre grupy elementów śledziły się nawzajem (co nie jest zaskakujące).

1

Czy używasz ? Jestem bardziej przyzwyczajony do tego, aby napisać to jako .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat: Oczywiście masz rację co do , oczywiście - bez zastanowienia przyjąłem notację używaną w pytaniu.

σ^{2}

$\sigma^2$

joriki,

5

Zależy to od kształtu rozkładu rezystancji. Nie znając rozkładu, nie mogę nawet powiedzieć o średnim oporze, chociaż myślę, że istnieją ograniczenia.

Tak, niech wybrać dystrybucję, która jest tractible: Let jest odchyleniem standardowym rezystancji jednego rezystora. Niech rezystancja będzie równa , a każdy znak pojawi się z prawdopodobieństwem . To daje nam przypadków do rozważenia lub jeśli połączymy niektóre przypadki. Oczywiście założymy, że opory są niezależne. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Jeśli wyboru i , to średnia jest (nieznacznie niższa niż ), a wariancja wynosi . Jeśli wyboru , a , a wariancja wynosi . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Oto rozszerzenie szeregu mocy dla stosunków między wariancjami, gdy średnia wynosi a wariancja wynosi : . Gdy jest małe, dominującym terminem jest . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Chociaż technicznie pytanie, które zadajesz, zależy od rozkładu, prawdopodobnie interesują Cię sytuacje, w których odchylenie standardowe jest niewielkie w porównaniu ze średnią, i myślę, że istnieje dobrze zdefiniowany limit, który nie zależy od rozkładu. Zlinearyzuj zależność rezystancji obwodu jako funkcję rezystancji każdego elementu:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

W tym konkretnym obwodzie skalowane pochodne cząstkowe to i $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

Douglas Zare
źródło

1

To przypomina mi wielowymiarowe twierdzenie delta, tj. ma odpowiednio i wariancja , a następnie powinien mieć asymptotyczną wariancję, ponieważ , gdzie i . Ostateczna odpowiedź jest taka sama jak @Douglas Zare i OP, czyli 0.1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

VitalStatistix,

1

Ostrzegam, że tak jak to rozumowałem, jest to długa odpowiedź , ale może ktoś może wymyślić coś lepszego, zaczynając od mojej próby (która może nie być optymalna). Ponadto źle odczytałem pierwotne pytanie OP i pomyślałem, że napisano, że rezystancje są normalnie rozłożone. I tak zostawię odpowiedź, ale to podstawowe założenie.

1. Fizyczne uzasadnienie problemu

Moje rozumowanie jest następujące: przypominam, że w przypadku równoległych rezystorów równoważny opór podaje: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

gdzie są rezystancjami każdej części obwodu. W twoim przypadku to nam daje $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ gdzie jest częścią obwodu o 1 oporności, a zatem ma rozkład normalny ze średnią i wariancją , i z tego samego powodu jest równoważna rezystancja części obwodu z dwoma rezystancjami, a na koniec jest równoważną rezystancją części obwodu z trzema rezystancjami. Powinieneś znaleźć rozkład a stamtąd uzyskać jego wariancję.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Uzyskanie dystrybucji $R_{eq}$

Jednym ze sposobów znalezienia rozkładu jest zauważenie, że: Stąd też zauważamy, że możemy napisać (który uzyskano za pomocą twierdzenia Bayesa), co przy założeniu niezależność między , i (co jest fizycznie możliwe), można zapisać jako Zastąpienie tego w i zauważenie, że kolejną konsekwencją niezależności między trzema rezystancjami jest to, że

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ , otrzymujemy: Naszym ostatnim problemem jest znalezienie , tj. Rozkład rv . Ten problem jest analogiczny do tego, który tutaj znaleźliśmy, z tym wyjątkiem, że teraz zastępujesz w eq. przez stałą, powiedzmy . Po tych samych argumentach, co powyżej, możesz znaleźć, że Najwyraźniej reszta to zastępując znane rozkłady, z wyjątkiem małego problemu: rozkład można uzyskać z , zauważając, że

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ jest Gaussa, tak, to w zasadzie konieczne jest znalezienie rozkładu zmiennej losowej gdzie i są stałymi, a jest gaussowski ze średnią i wariancją . Jeśli moje obliczenia są prawidłowe, ten rozkład jest następujący: gdzie więc będzie

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ gdzie i . Chodzi o to, że nie wiem, czy jest to możliwe do analizy w celu rozwiązania całki w równaniu , co następnie doprowadzi nas do rozwiązania poblemu, zastępując jej wynik w równaniu . Przynajmniej dla mnie o tej porze nocy tak nie jest.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

Néstor
źródło

Zakładasz normalny rozkład, mimo że opór nie może być ujemny? Domyślam się, że spowoduje to rozbieżność wariancji obwodu.

Douglas Zare

1

Wiem, że to też mnie niepokoiło, ale w praktyce tak naprawdę zależy od wartości i . Jeśli i , wówczas możemy „zapisać” model. W normalnych warunkach dyspersja rezystancji nie jest bardzo wysoka, więc ostatnie założenie jest wyraźnie spełnione. To było coś, co początkowo mnie niepokoiło, gdy ludzie modelowali wysokość jako normalną zmienną losową, ale z tego samego powodu, który tu podałem, niektórzy ludzie tutaj w Stack-exchange sprawili, że czułem się z tym dobrze :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

Néstor,

Hmm, myślę, że modelowanie jako normalne jest tak złe, że używam go jako przykładu rozkładu, który oczywiście nie jest normalny. Przypuszczam, że może nie być strasznie, jeśli masz populację zdrowych dorosłych mężczyzn z tego samego pochodzenia genetycznego. Chciałbym jednak usłyszeć od biologa, że to w porządku. Powód, który zbyt często słyszałem, że wielkość każdej kości jest niezależna, jest całkowitym nonsensem.

Douglas Zare

Właśnie zdałem sobie sprawę, że opory nie były normalnie rozłożone (przysięgam, że przeczytałem je tam, gdzie na oryginalnej odpowiedzi PO, ale myślę, że to tylko moja wyobraźnia).

Néstor,

Wariancja rezystorów równolegle

Odpowiedzi: