Co się tutaj dzieje, kiedy używam kwadratowej straty w ustawieniach regresji logistycznej?

16

Próbuję użyć straty kwadratowej, aby dokonać klasyfikacji binarnej na zestawie danych zabawki.

Korzystam z mtcarszestawu danych, wykorzystuję milę na galon i wagę, aby przewidzieć rodzaj transmisji. Poniższy wykres pokazuje dwa typy danych typu transmisji w różnych kolorach oraz granicę decyzji wygenerowaną przez inną funkcję strat. Kwadratowa strata wynosi ja(yja-pja)2) gdzie yja to podstawa prawdy (0 lub 1), a pja to przewidywane prawdopodobieństwo pi=Logit1(βTxi). Innymi słowy, zastępuję stratę logistyczną stratą kwadratową w ustawieniach klasyfikacji, inne części są takie same.

Na przykład zabawki z mtcarsdanymi w wielu przypadkach otrzymałem model „podobny” do regresji logistycznej (patrz poniższy rysunek z losowym ziarnem 0).

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Ale w niektórych przypadkach (jeśli to zrobimy set.seed(1) ) kwadratowa strata wydaje się nie działać dobrze. wprowadź opis zdjęcia tutaj Co tu się dzieje? Optymalizacja nie jest zbieżna? Utratę logistyczną łatwiej zoptymalizować w porównaniu do straty kwadratowej? Każda pomoc będzie mile widziana.


Kod

d=mtcars[,c("am","mpg","wt")]
plot(d$mpg,d$wt,col=factor(d$am))
lg_fit=glm(am~.,d, family = binomial())
abline(-lg_fit$coefficients[1]/lg_fit$coefficients[3],
       -lg_fit$coefficients[2]/lg_fit$coefficients[3])
grid()

# sq loss
lossSqOnBinary<-function(x,y,w){
  p=plogis(x %*% w)
  return(sum((y-p)^2))
}

# ----------------------------------------------------------------
# note, this random seed is important for squared loss work
# ----------------------------------------------------------------
set.seed(0)

x0=runif(3)
x=as.matrix(cbind(1,d[,2:3]))
y=d$am
opt=optim(x0, lossSqOnBinary, method="BFGS", x=x,y=y)

abline(-opt$par[1]/opt$par[3],
       -opt$par[2]/opt$par[3], lty=2)
legend(25,5,c("logisitc loss","squared loss"), lty=c(1,2))
Haitao Du
źródło
1
Być może losowa wartość początkowa jest niska. Dlaczego nie wybrać lepszego?
whuber
1
@whuber utrata logistyczna jest wypukła, więc rozpoczęcie nie ma znaczenia. co z kwadratową stratą na p i y? czy jest wypukły?
Haitao Du
5
Nie jestem w stanie odtworzyć tego, co opisujesz. optimmówi ci, że jeszcze się nie skończył, to wszystko: zbiega się. Możesz się wiele nauczyć, ponownie uruchamiając kod z dodatkowym argumentem control=list(maxit=10000), wykreślając jego dopasowanie i porównując jego współczynniki z oryginalnymi.
whuber
2
@amoeba dziękuję za komentarze, poprawiłem pytanie. mam nadzieję, że tak jest lepiej.
Haitao Du
@amoeba Poprawię legendę, ale to stwierdzenie nie naprawi (3)? „Korzystam z zestawu danych mtcars, używam mili na galon i wagi, aby przewidzieć rodzaj transmisji. Poniższy wykres pokazuje dwa typy danych typu transmisji w różnych kolorach i granicę decyzji wygenerowaną przez inną funkcję straty”.
Haitao Du

Odpowiedzi:

19

Wygląda na to, że naprawiłeś problem w swoim konkretnym przykładzie, ale myślę, że nadal warto dokładniej przestudiować różnicę między regresją logistyczną najmniejszych kwadratów i maksymalnego prawdopodobieństwa.

Zdobądźmy notację. Niech LS(yi,y^i)=12(yiy^i)2iLL(yi,y^i)=yilogy^i+(1yi)log(1y^i). Jeśli robimy maksymalnego prawdopodobieństwa (lub minimalny negatywny dziennika prawdopodobieństwo jak tu robię), mamy p L:=argminbp

β^L:=argminbRpi=1nyilogg1(xiTb)+(1yi)log(1g1(xiTb))
pomocąg jest naszą funkcją łącza.

Alternatywnie mamy p S : = argmin b R t 1

β^S:=argminbRp12i=1n(yig1(xiTb))2
jako rozwiązanie najmniejszych kwadratów. Zatem β SminimalizujeLS,podobnie doLl.β^SLSLL

Niech fS i fL być celem funkcje odpowiadające minimalizując LS i LL , odpowiednio, jak to ma miejsce na P S i p L . Ostatecznie, niech H = g - 1 tak, Y i = H ( x T i b ) . Zauważ, że jeśli używamy linku kanonicznego, mamy h ( z ) = 1β^Sβ^Lh=g1y^i=h(xiTb)

h(z)=11+ezh(z)=h(z)(1h(z)).


Do regularnego regresji logistycznej mamy

fLbj=i=1nh(xiTb)xij(yih(xiTb)1yi1h(xiTb)).
Używająch=h(1h), możemy uprościć to do
fLbj=i=1nxij(yi(1y^i)(1yi)y^i)=i=1nxij(yiy^i)
so
fL(b)=XT(YY^).

Następnie zróbmy drugie pochodne. Hesjan

HL:=2fLbjbk=i=1nxijxiky^i(1y^i).
Oznacza to, żeHL=XTAXgdzie=diag( Y (1 - Y )). HLzależy od wartościA=diag(Y^(1Y^))HLY^ but Y has dropped out, and HL is PSD. Thus our optimization problem is convex in b.


Let's compare this to least squares.

fSbj=i=1n(yiy^i)h(xiTb)xij.

fS(b)=XTA(YY^).
i y^i(1y^i)(0,1) so basically we're flattening the gradient relative to fL. This'll make convergence slower.

For the Hessian we can first write

fSbj=i=1nxij(yiy^i)y^i(1y^i)=i=1nxij(yiy^i(1+yi)y^i2+y^i3).

This leads us to

HS:=2fSbjbk=i=1nxijxikh(xiTb)(yi2(1+yi)y^i+3y^i2).

Let B=diag(yi2(1+yi)y^i+3y^i2). We now have

HS=XTABX.

Unfortunately for us, the weights in B are not guaranteed to be non-negative: if yi=0 then yi2(1+yi)y^i+3y^i2=y^i(3y^i2) which is positive iff y^i>23. Similarly, if yi=1 then yi2(1+yi)y^i+3y^i2=14y^i+3y^i2 which is positive when y^i<13 (it's also positive for y^i>1 but that's not possible). This means that HS is not necessarily PSD, so not only are we squashing our gradients which will make learning harder, but we've also messed up the convexity of our problem.


All in all, it's no surprise that least squares logistic regression struggles sometimes, and in your example you've got enough fitted values close to 0 or 1 so that y^i(1y^i) can be pretty small and thus the gradient is quite flattened.

Connecting this to neural networks, even though this is but a humble logistic regression I think with squared loss you're experiencing something like what Goodfellow, Bengio, and Courville are referring to in their Deep Learning book when they write the following:

One recurring theme throughout neural network design is that the gradient of the cost function must be large and predictable enough to serve as a good guide for the learning algorithm. Functions that saturate (become very flat) undermine this objective because they make the gradient become very small. In many cases this happens because the activation functions used to produce the output of the hidden units or the output units saturate. The negative log-likelihood helps to avoid this problem for many models. Many output units involve an exp function that can saturate when its argument is very negative. The log function in the negative log-likelihood cost function undoes the exp of some output units. We will discuss the interaction between the cost function and the choice of output unit in Sec. 6.2.2.

and, in 6.2.2,

Unfortunately, mean squared error and mean absolute error often lead to poor results when used with gradient-based optimization. Some output units that saturate produce very small gradients when combined with these cost functions. This is one reason that the cross-entropy cost function is more popular than mean squared error or mean absolute error, even when it is not necessary to estimate an entire distribution p(y|x).

(both excerpts are from chapter 6).

jld
źródło
1
I really like you helped me to derive the derivative and hessian. I will check it more careful tomorrow.
Haitao Du
1
@hxd1011 you're very welcome, and thanks for the link to that older question of yours! I've really been meaning to go through this more carefully so this was a great excuse :)
jld
1
I carefully read the math and verified with code. I found Hessian for squared loss does not match the numerical approximation. Could you check it? I am more than happy to show you the code if you want.
Haitao Du
@hxd1011 I just went through the derivation again and I think there's a sign error: for HS I think everywhere that I have yi2(1yi)y^i+3y^i2 it should be yi2(1+yi)y^i+3y^i2. Could you recheck and tell me if that fixes it? Thanks a lot for the correction.
jld
@hxd1011 glad that fixed it! thanks again for finding that
jld
5

I would thank to thank @whuber and @Chaconne for help. Especially @Chaconne, this derivation is what I wished to have for years.

The problem IS in the optimization part. If we set the random seed to 1, the default BFGS will not work. But if we change the algorithm and change the max iteration number it will work again.

As @Chaconne mentioned, the problem is squared loss for classification is non-convex and harder to optimize. To add on @Chaconne's math, I would like to present some visualizations on to logistic loss and squared loss.

We will change the demo data from mtcars, since the original toy example has 3 coefficients including the intercept. We will use another toy data set generated from mlbench, in this data set, we set 2 parameters, which is better for visualization.

Here is the demo

  • The data is shown in the left figure: we have two classes in two colors. x,y are two features for the data. In addition, we use red line to represent the linear classifier from logistic loss, and the blue line represent the linear classifier from squared loss.

  • The middle figure and right figure shows the contour for logistic loss (red) and squared loss (blue). x, y are two parameters we are fitting. The dot is the optimal point found by BFGS.

enter image description here

From the contour we can easily see how why optimizing squared loss is harder: as Chaconne mentioned, it is non-convex.

Here is one more view from persp3d.

enter image description here


Code

set.seed(0)
d=mlbench::mlbench.2dnormals(50,2,r=1)
x=d$x
y=ifelse(d$classes==1,1,0)

lg_loss <- function(w){
  p=plogis(x %*% w)
  L=-y*log(p)-(1-y)*log(1-p)
  return(sum(L))
}
sq_loss <- function(w){
  p=plogis(x %*% w)
  L=sum((y-p)^2)
  return(L)
}

w_grid_v=seq(-15,15,0.1)
w_grid=expand.grid(w_grid_v,w_grid_v)

opt1=optimx::optimx(c(1,1),fn=lg_loss ,method="BFGS")
z1=matrix(apply(w_grid,1,lg_loss),ncol=length(w_grid_v))

opt2=optimx::optimx(c(1,1),fn=sq_loss ,method="BFGS")
z2=matrix(apply(w_grid,1,sq_loss),ncol=length(w_grid_v))

par(mfrow=c(1,3))
plot(d,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3))
abline(0,-opt1$p2/opt1$p1,col='darkred',lwd=2)
abline(0,-opt2$p2/opt2$p1,col='blue',lwd=2)
grid()
contour(w_grid_v,w_grid_v,z1,col='darkred',lwd=2, nlevels = 8)
points(opt1$p1,opt1$p2,col='darkred',pch=19)
grid()
contour(w_grid_v,w_grid_v,z2,col='blue',lwd=2, nlevels = 8)
points(opt2$p1,opt2$p2,col='blue',pch=19)
grid()


# library(rgl)
# persp3d(w_grid_v,w_grid_v,z1,col='darkred')
Haitao Du
źródło
2
I don't see any non-convexity on the third subplot of your first figure...
amoeba says Reinstate Monica
@amoeba I thought convex contour is more like ellipse, two U shaped curve back to back is non-convex, is that right?
Haitao Du
2
No, why? Maybe it's a part of a larger ellipse-like contour? I mean, it might very well be non-convex, I am just saying that I do not see it on this particular figure.
amoeba says Reinstate Monica