Jakie formy dystrybucji dają „oczekiwanie Pitagorasa”?

Niech i będą niezależnymi ciągłymi zmiennymi losowymi wygenerowanymi z tej samej nieokreślonej postaci dystrybucyjnej, ale z uwzględnieniem różnych wartości parametrów. Interesuje mnie znalezienie formularza rozkładu parametrycznego, dla którego obowiązuje następujące prawdopodobieństwo próbkowania dla wszystkich dopuszczalnych wartości parametrów:$X \sim \text{Dist}(\theta_X)$$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Moje pytanie: czy ktoś może mi powiedzieć o ciągłej formie dystrybucji, której dotyczy? Czy są jakieś (niebanalne) ogólne warunki, które do tego prowadzą?

Moje wstępne przemyślenia: Jeśli pomnożysz oba parametry przez dowolną niezerową stałą, prawdopodobieństwo pozostanie niezmienione, więc sensowne jest, aby było jakimś parametrem skali.$\theta$

Jeśli weźmiemy dwie wykładnicze zmienne losowe otrzymujemy, że P ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } i E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ Teraz, jeśliX∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ a następnie P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

Bardziej interesujące pytanie dotyczy tego, czy jest to jedyny możliwy przypadek dystrybucji, dla którego działa. (Na przykład, jest jedynym elementem rodziny gamma, dla których pracuje.) Opiera się na strukturze rodziny skali koniecznym i wystarczającym na podłożu gęstości z X i Y jest to, że ∫ ∞ 0$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

$X$$\left( \alpha,\beta_1 \right)$$Y$$\left( \alpha, \beta_2 \right)$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

Można to uzyskać na podstawie tego samego podejścia podanego w odpowiedzi Xi'ana.

$\alpha=2$$X$$Y$$X$$\theta_X$$Y$$\theta_Y,$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$