Plik pdf jest zwykle zapisywany jako , gdzie małe litery jest traktowany jako realizacja lub wynik zmiennej losowej który ma ten pdf. Podobnie plik cdf jest zapisywany jako, co ma znaczenie . Jednak w niektórych okolicznościach, takich jak definicja funkcji score i to wyprowadzenie, że cdf jest równomiernie rozłożony , wydaje się, że zmienna losowajest podłączany do własnego pliku pdf / cdf; w ten sposób otrzymujemy nową zmienną losową lub . Nie sądzę, abyśmy mogli to nazwać pdf lub cdf, ponieważ jest to teraz sama zmienna losowa, aw tym drugim przypadku „interpretacja” wydaje mi się nonsensem.
Ponadto w powyższym ostatnim przypadku nie jestem pewien, czy rozumiem stwierdzenie „cdf zmiennej losowej ma rozkład równomierny”. Plik cdf jest funkcją, a nie zmienną losową, dlatego nie ma rozkładu. Raczej to, co ma jednolity rozkład, to zmienna losowa przekształcona za pomocą funkcji reprezentującej jej własny plik cdf, ale nie rozumiem, dlaczego ta transformacja jest znacząca. To samo dotyczy funkcji score, w której podłączamy losową zmienną do funkcji, która reprezentuje własne prawdopodobieństwo dziennika.
Od tygodni niszczę mózg, próbując znaleźć intuicyjne znaczenie dla tych przemian, ale utknąłem. Wszelkie informacje będą mile widziane!
Odpowiedzi:
Jak mówisz, każda (mierzalna) funkcja zmiennej losowej jest sama zmienną losową. Łatwiej jest po prostu pomyślećf(x) i F(x) jako „dowolna stara funkcja”. Po prostu mają jakieś fajne właściwości. Na przykład jeśliX jest standardową wykładniczą RV, wtedy nie ma nic szczególnie dziwnego w zmiennej losowej
Który jest wyraźnie CDF zU(0,1) zmienna losowa. Uwaga: ta wersja dowodu zakłada, żeFX(x) jest stale rosnąca i ciągła, ale nie jest o wiele trudniej pokazać bardziej ogólną wersję.
źródło
Przekształcić zmiennej losowejX przez mierzalną funkcję T:X⟶Y jest kolejną zmienną losową Y=T(X) którego rozkład daje odwrotna transformata prawdopodobieństwa
Ta właściwość dotyczy specjalnego przypadku, gdyFX:X⟶[0,1] to cdf zmiennej losowej X : Y=FX(X) jest nową zmienną losową uwzględniającą jej realizację [0,1] . Zdarza się,Y jest rozpowszechniany jako jednolity U([0,1]) kiedy FX jest ciągły. (GdybyFX jest nieciągły, zakres Y=FX(X) już nie jest [0,1] . Zawsze tak jest, kiedyU jest mundurem U([0,1]) , następnie F−X(U) ma taki sam rozkład jak X , gdzie F−X oznacza uogólnioną odwrotność FX . Który jest formalnym sposobem (a) zrozumienia zmiennych losowych jako mierzalnych przekształceń fundamentalnychω∈Ω od X(ω)=F−X(ω) jest zmienną losową z cdf FX i (b) generować losowe zmienne z danego rozkładu za pomocą cdfFX .)
Aby zrozumieć paradoksP(X≤X) , weź reprezentację
Ta sama uwaga dotyczy transformacji według gęstości (pdf),fX(X) , która jest nową zmienną losową, z tym wyjątkiem, że nie ma ustalonego rozkładu kiedy fX różni się Jest to jednak przydatne do celów statystycznych, biorąc pod uwagę na przykład współczynnik prawdopodobieństwafX(X|θ^(X))/fX(X|θ0) który 2 x logarytm jest w przybliżeniu a χ2 zmienna losowa w niektórych warunkach.
To samo dotyczy funkcji score
[Odpowiedź wpisana podczas gdy @whuber i @knrumsey wpisywali swoje odpowiedzi!]
źródło