Niech będzie prawdopodobieństwem simpleks wymiaru , tzn. jest taki, że i .
Jakie dystrybucje, które są często (lub dobrze znane lub zdefiniowane w przeszłości) nad ?
Oczywiście istnieją rozkłady Dirichleta i Logit-Normal. Czy są jakieś inne dystrybucje, które pojawiają się naturalnie w tym kontekście?
distributions
multinomial
compositional-data
singelton
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Jest to badane w analizie danych kompozycyjnych, jest książka Aitchisona: Analiza statystyczna danych kompozycyjnych .
Zdefiniuj simpleks za pomocąSn={(x1,…,xn+1)∈Rn+1:x1>0,…,xn+1>0,∑i=1n+1xi=1}.
Zauważ, że używamy indeksu n aby wskazać wymiar! Zdefiniuj średnią geometryczną elementu elementu simpleks,x jakox~ . Następnie możemy zdefiniować transformację logratio (wprowadzoną przez Aitchisona) jakox=(x1,…,xn+1)↦(log(x1/x~),…,log(xn/x~) . jest naRn , więc mam odwrotność, którą pozostawiam wam do obliczenia (Istnieją również inne wersje tej transformacji, które można zastosować, która może ma lepsze właściwości matematyczne, więcej o tym później).
Teraz możesz wziąć rozkład normalny (lub cokolwiek) zdefiniowany naRn i użyć tej odwrotnej transformacji, aby zdefiniować rozkład na simpleksie. Możliwości są nieograniczone, dla każdej dystrybucji wielowymiarowej w Rn otrzymujemy dystrybucję na simpleksie.
Później uzupełnię ten post kilkoma przykładami i szczegółowymi informacjami na temat transformacji współczynnika log.
źródło