Jakie są rozkłady dla simpleks prawdopodobieństwa?

16

Niech będzie prawdopodobieństwem simpleks wymiaru , tzn. jest taki, że i .ΔKK1xΔKxi0ixi=1

Jakie dystrybucje, które są często (lub dobrze znane lub zdefiniowane w przeszłości) nad ?ΔK.

Oczywiście istnieją rozkłady Dirichleta i Logit-Normal. Czy są jakieś inne dystrybucje, które pojawiają się naturalnie w tym kontekście?

singelton
źródło

Odpowiedzi:

7

Jest to badane w analizie danych kompozycyjnych, jest książka Aitchisona: Analiza statystyczna danych kompozycyjnych .

Zdefiniuj simpleks za pomocą

Sn={(x1,,xn+1)Rn+1:x1>0,,xn+1>0,i=1n+1xi=1}.
Zauważ, że używamy indeksu n aby wskazać wymiar! Zdefiniuj średnią geometryczną elementu elementu simpleks,x jakox~ . Następnie możemy zdefiniować transformację logratio (wprowadzoną przez Aitchisona) jakox=(x1,,xn+1)(log(x1/x~),,log(xn/x~) . jest naRn, więc mam odwrotność, którą pozostawiam wam do obliczenia (Istnieją również inne wersje tej transformacji, które można zastosować, która może ma lepsze właściwości matematyczne, więcej o tym później).

Teraz możesz wziąć rozkład normalny (lub cokolwiek) zdefiniowany na Rn i użyć tej odwrotnej transformacji, aby zdefiniować rozkład na simpleksie. Możliwości są nieograniczone, dla każdej dystrybucji wielowymiarowej w Rn otrzymujemy dystrybucję na simpleksie.

Później uzupełnię ten post kilkoma przykładami i szczegółowymi informacjami na temat transformacji współczynnika log.

kjetil b halvorsen
źródło