Podobieństwo dwóch dyskretnych transformacji Fouriera?

W modelowaniu klimatu szukasz modeli, które mogą odpowiednio zobrazować klimat Ziemi. Obejmuje to pokazywanie wzorców, które są półcykliczne: rzeczy takie jak oscylacja południowa El Nino. Ale weryfikacja modelu odbywa się na ogół w stosunkowo krótkim czasie, w którym istnieją przyzwoite dane obserwacyjne (ostatnie ~ 150 lat). Oznacza to, że Twój model może wyświetlać prawidłowe wzorce, ale nie jest w fazie, tak że porównania liniowe, takie jak korelacja, nie wykryją, że model działa dobrze.

Dyskretne transformaty Fouriera są powszechnie stosowane do analizy danych klimatycznych ( oto przykład ), w celu wychwycenia takich cyklicznych wzorów. Czy istnieje jakakolwiek standardowa miara podobieństwa dwóch DFT, która mogłaby zostać wykorzystana jako narzędzie weryfikacyjne (tj. Porównanie między DFT dla modelu a tym dla obserwacji)?

Czy miałoby sens przyjęcie całki minimum dwóch znormalizowanych obszarowo DFT (przy użyciu bezwzględnych wartości rzeczywistych)? Myślę, że to dałoby wynik , gdzie dokładnie takie same wzorce, a zupełnie inne wzorce. Jakie mogą być wady takiej metody?$x\in[0,1]$$x=1\implies$$x=0\implies$

Spójność spektralna, jeśli zastosowana poprawnie, by to zrobiła. Spójność jest obliczana dla każdej częstotliwości, a zatem jest wektorem. Dlatego dobrą miarą byłaby suma ważonej spójności. Zazwyczaj chciałbyś ważyć koherencje przy częstotliwościach, które mają wysoką energię w gęstości widmowej mocy. W ten sposób mierzyłbyś podobieństwa na częstotliwościach dominujących w szeregach czasowych zamiast ważenia koherencji dużą wagą, gdy zawartość tej częstotliwości w szeregach czasowych jest znikoma.

Krótko mówiąc - podstawową ideą jest znalezienie częstotliwości, przy których amplituda (energia) w sygnałach jest wysoka (interpretowana jako częstotliwości, które dominują w każdym sygnale), a następnie porównanie podobieństwa przy tych częstotliwościach z większą wagą i porównaj sygnały na pozostałych częstotliwościach z mniejszą wagą.

Obszar zajmujący się tego rodzaju pytaniami nazywa się analizą spektralną. http://www.atmos.washington.edu/~dennis/552_Notes_6c.pdf to doskonałe wprowadzenie do analizy spektralnej.

Optymalne opóźnienie: spójrz też na moją odpowiedź tutaj: Jak skorelować dwie serie czasowe, z możliwymi różnicami czasowymi

Dotyczy to znalezienia optymalnego opóźnienia przy użyciu spójności spektralnej. R ma funkcje do obliczania gęstości widmowych mocy, korelacji automatycznych i krzyżowych, transformacji Fouriera i koherencji. Musisz poprawić kod, aby znaleźć optymalne opóźnienie, aby uzyskać maksimum. ważona spójność. To powiedziawszy, należy również napisać kod do ważenia wektora koherencji przy użyciu gęstości widmowej. Następnie można zsumować ważone elementy i uśrednić je, aby uzyskać podobieństwo zaobserwowane przy optymalnym opóźnieniu.

Czy próbowałeś innego podejścia do wykrywania / modelowania sygnału klimatu, na przykład analizy falkowej? Duży problem, który może pojawić się przy analizie klimatu w DFT, jest właśnie tym, o czym wspominasz: oscylacje nie są idealnie okresowe i zwykle mają różne przedziały czasowe, więc mogą mieć wiele różnych zakresów oscylacji, co jest dość mylące z perspektywy transformacji Fouriera .

Analiza falkowa jest bardziej odpowiednia dla sygnałów klimatycznych, ponieważ pozwalają sprawdzić różne przedziały czasowe oscylacji; podobnie jak różne częstotliwości są odtwarzane w różnych momentach przez instrument muzyczny, możesz sprawdzić różne częstotliwości w różnych przedziałach czasowych za pomocą transformaty falkowej.

Jeśli jesteś zainteresowany, ten artykuł autorstwa Lau & Weng (1995) powinien usunąć większość wątpliwości dotyczących tej metody. Najciekawsze jest to, że transformacja falkowa modelu w porównaniu z danymi jest prawie bezpośrednio porównywalna, ponieważ można bezpośrednio porównać przedział czasowy przewidziany przez model, pomijając wszystkie fałszywe zakresy oscylacji, których nie ma.

PS: Muszę dodać, że chciałem opublikować to jako komentarz, ponieważ tak naprawdę nie jest to prośba PO, ale mój komentarz byłby zbyt duży i postanowiłem opublikować go jako odpowiedź, która może się przydać jako alternatywne podejście do DFT.

Głosowałem za drugą analizą opartą na falkach i spektrogramach jako alternatywą dla dft. Jeśli potrafisz rozłożyć swoją serię na zlokalizowane przedziały czasowo-częstotliwościowe, zmniejsza to cztery problemy aperiodyczności i niestacjonarności, a także zapewnia ładny profil dyskretnych danych do porównania.

Po zmapowaniu danych na trójwymiarowy zestaw energii widmowej w funkcji czasu i częstotliwości można użyć odległości euklidesowej do porównania profili. Idealne dopasowanie zbliżyłoby się do dolnej granicy zerowej. * Możesz zajrzeć do obszarów eksploracji danych i rozpoznawania mowy w szeregach czasowych dla podobnych podejść.

* zwróć uwagę, że proces grupowania falkowego nieco odfiltruje treść informacji. Jeśli nie będzie strat w porównywanych danych, bardziej odpowiednie może być porównanie za pomocą odległości euklidesowej w dziedzinie czasu