Próbuję modelować i prognozować szereg czasowy, który jest raczej cykliczny niż sezonowy (tzn. Istnieją wzorce podobne do sezonowych, ale nie z ustalonym okresem). Powinno to być możliwe przy użyciu modelu ARIMA, jak wspomniano w sekcji 8.5 Prognozowania: zasady i praktyka :

Wartość jest ważna, jeśli dane pokazują cykle. Aby uzyskać cykliczne prognozy, trzeba je mieć$p$$p\geq 2$wraz z dodatkowymi warunkami dotyczącymi parametrów. W przypadku modelu AR (2) zachowanie cykliczne występuje, jeśli$\phi^2_1+4\phi_2<0$.

Jakie są te dodatkowe warunki dotyczące parametrów w ogólnym przypadku ARIMA (p, d, q)? Nigdzie ich nie znalazłem.

Trochę intuicji graficznej

W modelach AR zachowanie cykliczne pochodzi od złożonych pierwiastków sprzężonych z charakterystycznym wielomianem. Aby dać intuicję, narysowałem poniżej funkcje odpowiedzi impulsowej na dwóch przykładowych modelach AR (2).

1. Trwały proces o złożonych korzeniach.
2. Trwały proces z prawdziwymi korzeniami.

Dla $j=1\,\ldots, p$, Korzenie charakterystycznego wielomianu to $\frac{1}{\lambda_j}$ gdzie $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ są wartościami własnymi $A$macierz, którą zdefiniowałem poniżej. Ze złożonymi wartościami sprzężonymi$\lambda = r e^{i \omega t}$ i $\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$, $r$ kontroluje tłumienie (gdzie $r \in [0, 1)$) i $\omega$ kontroluje częstotliwość fali cosinusowej.

Szczegółowy przykład AR (2)

Załóżmy, że mamy AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Możesz napisać dowolny AR (p) jako VAR (1) . W takim przypadku reprezentacja VAR (1) to:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ Matryca $A$ rządzi dynamiką $X_t$ i stąd $y_t$. Charakterystyczne równanie macierzy$A$ jest: $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ Wartości własne $A$ są: $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ Wektory własne $A$ są: $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Zauważ, że $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$. Formowanie rozkładu i wychowania wartości własnej$A$ do $k$moc

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Prawdziwa wartość własna $\lambda$ prowadzi do rozkładu, gdy podnosisz $\lambda^k$. Wartości własne z niezerowymi składnikami urojonymi prowadzą do zachowania cyklicznego.

Wartości własne z urojonym przypadkiem komponentu: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

W kontekście AR (2) mamy złożone wartości własne if $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$. Od$A$jest prawdziwe, muszą występować w parach, które są złożonymi sprzężonymi ze sobą.

Po rozdziale 2 Prado i Westa (2010), pozwól

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Możesz pokazać prognozę $\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$ jest dany przez:

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Mówiąc swobodnie, dodawanie złożonych koniugatów anuluje ich wyimaginowany składnik, pozostawiając pojedynczą tłumioną falę kosinusową w przestrzeni liczb rzeczywistych. (Uwaga, musimy mieć$0 \leq r < 1$ dla stacjonarności).

Jeśli chcesz znaleźć $r$, $\omega$, $a_t$, $\theta_t$, zacznij od użycia formuły Eulera, która$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$, możemy pisać:

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

dodatek

Uwaga Mylące ostrzeżenie terminologiczne! Powiązanie charakterystycznego wielomianu A z charakterystycznym wielomianem AR (p)

Inną sztuczką szeregów czasowych jest użycie operatora opóźnienia do napisania AR (p) jako:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Wymień operator opóźnienia $L$ z pewną zmienną $z$ i ludzie często się do nich odnoszą $1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$jako charakterystyczny wielomian modelu AR (p). Jak ta odpowiedź omawia , jest to dokładnie charakterystyczny wielomian$A$ gdzie $z = \frac{1}{\lambda}$. Korzenie$z$są wzajemnymi wartościami własnymi. (Uwaga: aby model był nieruchomy, chcesz$|\lambda| < 1$, czyli wewnątrz wiru jednostki lub równoważnie $|z|>1$, czyli poza okręgiem jednostki).

Bibliografia

Prado, Raquel i Mike West, Szeregi czasowe: modelowanie, obliczenia i wnioskowanie , 2010