„Twierdzenie o granicy środkowej” dla sumy ważonej skorelowanych zmiennych losowych

Czytam gazetę, która to twierdzi

$$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$$ (tj. dyskretna transformata Fouriera , DFT) przez CLT ma tendencję do (złożonej) losowej zmiennej gaussowskiej. Wiem jednak, że ogólnie nie jest to prawdą. Po przeczytaniu tego (błędnego) argumentu przeszukałem sieć i znalazłem ten artykuł z 2010 roku autorstwa Peligrad i Wu , gdzie dowodzą, że w przypadku niektórych stacjonarnych procesów można znaleźć „twierdzenie CLT”.

Moje pytanie brzmi: czy masz jakieś inne odniesienia, które próbują rozwiązać problem znalezienia ograniczającego rozkładu DFT danej sekwencji indeksowanej (zarówno przez symulację, jak i teorię)? Szczególnie interesuje mnie współczynnik zbieżności (tj. Jak szybko DFT zbiega się), biorąc pod uwagę pewną strukturę kowariancji dla w kontekście analizy szeregów czasowych lub pochodnych / aplikacji do szeregów niestacjonarnych.$X_j$

W „Analizie i teorii danych szeregów czasowych” Davida Brillingera z 1975 r. Holt, Rinehart i Winston Publishers str. 94 Theroem 4.4.1 stwierdza w pewnych warunkach, że dyskretna transformata Fouriera dla szeregu o wartości wektora r przy częstotliwościach λ (N) jest asymptotycznie niezależna r wymiarowa złożona normalna zmienia się ze średnim wektorem 0, gdzie λ (N) = 2π s (N) / N. Jest to bardzo ważne twierdzenie przy opracowywaniu oszacowań gęstości widmowej stacjonarnych szeregów czasowych.$_j$$_j$$_j$