Suma graniczna iid Gamma jest zmienna

11

Niech X1,X2, będą ciągiem niezależnie i identycznie rozmieszczonych zmiennych losowych z funkcją gęstości prawdopodobieństwa;

f(x)={12x2exif x>0;0otherwise.
limnP[X1+X2++Xn3(nn)]12

Co próbowałem

Na pierwszy rzut oka myślałem, że powinien użyć nierówności Czebyszewa, ponieważ pytanie brzmi: pokaż dolną granicę . Myślałem jednak o znaku granicznym, który wyraźnie wskazuje, że problem może być w jakiś sposób związany z Central Limit Theorem (CLT) X1+X2++Xn

NiechSn=X1+X2++Xn

E(Sn)=i=0nE(Xi)=3n (since E(Xi)=3)V(Sn)=i=0nV(Xi)=3n (since V(Xi)=3 and Xi are i.i.d)

Teraz, używając CLT, dla dużych , Lub,nX1+X2+........+XnN(3n,3n)

z=Sn3n3nN(0,1) as n

Teraz

limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=limnP(Sn3n3n)=limnP(Sn3n3n3)=P(z3)=P(3z<0)+P(z0)=P(3z<0)+12(1)

Ponieważ , a więc od , P(3z<0)0(1)

limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]12

Mam rację?


źródło
1
CLT wydaje się rozsądnym podejściem, ale „ "nie ma sensu ..limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=P(Sn3n3n)
P.Windridge
Myślę, że powinno to być
limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=limnP(Sn3n3n)=limnP(Sn3n3n3)=P(z3)
6
Alternatywnie, rozważ to iid a więc . Mediana zmiennej losowej gamma, nie jest znane w zamkniętej formie, ale jest znane (por Wikipedia ), że dla dużych Mediana o leży między zmienną losową i . Ponieważ , musi być tak, że co najmniej połowa masy prawdopodobieństwa leży po prawej stronie . XiΓ(3,1)X1+X2++XnΓ(3n,1)nΓ(3n,1)3n133n3(nn)<3n133(nn)
Dilip Sarwate,

Odpowiedzi:

3

Miałeś rację, że Nierówność Czebyszewa zadziała. Zapewnia to dość surowe, ale skuteczne wiązanie, które stosuje się do wielu takich sekwencji, ujawniając, że kluczową cechą tej sekwencji jest to, że wariancja sum cząstkowych rośnie co najwyżej liniowo z .n

Rozważmy zatem wyjątkowo ogólny przypadek dowolnej sekwencji nieskorelowanych zmiennych ze średnimi i skończonymi wariancjami Niech będzie sumą pierwszego z nich,Xiμiσi2.Ynn

Yn=i=1nXi.

W związku z tym średnia wynosiYn

mn=i=1nμn

a jego wariantem jest

sn2=Var(Yn)=i=1nVar(Xi)+2j>iCov(Xi,Xj)=i=1nσi2.

Załóżmy, że rośnie co najwyżej liniowo z :sn2n to znaczy istnieje liczba taka, że ​​dla wszystkich wystarczająco dużych Niech (jeszcze do ustalenia), zauważ toλ>0n, sn2λ2n.k>0

mknmkλsn,

i zastosuj nierówność Czebyszewa do aby uzyskaćYn

Pr(Ynmnkn)Pr(Ynmnkλsn)Pr(|Ynmn|kλsn)1λ2k2.

Dwie pierwsze nierówności są podstawowe: następują, ponieważ każde kolejne zdarzenie jest podzbiorem poprzedniego.


W rozważanym przypadku, w którym są niezależnie (a zatem nie są skorelowane) środki , a wariancje mamy iXiμi=3σi2=3,mn=3n

sn=3n,

skąd możemy wziąć tak małe jak Zdarzenie w pytaniu odpowiada gdzieλ3.3(nn)=μn3nk=3,

Pr(Yn3n3n)13 232=23>12,

CO BYŁO DO OKAZANIA.

Whuber
źródło
1

Jako alternatywę dla doskonałej odpowiedzi Whubera postaram się ustalić dokładny limit prawdopodobieństwa, o którym mowa. Jedną z właściwości rozkładu gamma jest to, że sumy niezależnych zmiennych losowych gamma o tym samym parametrze szybkości / skali są również zmiennymi losowymi gamma o kształcie równym sumie kształtów tych zmiennych. (Można to łatwo udowodnić za pomocą funkcji generujących rozkład.) W niniejszym przypadku mamy , więc otrzymujemy sumę:X1,...XnIID Gamma(3,1)

SnX1++XnGamma(3n,1).

Możemy zatem zapisać dokładne prawdopodobieństwo zainteresowania za pomocą CDF rozkładu gamma. Niech oznacza parametr kształtu, a oznacza argument będący przedmiotem zainteresowania, mamy:a=3nx=3(nn)

H(n)P(Sn3(nn))=Γ(a,x)Γ(a)=aΓ(a)aΓ(a)+xaexΓ(a+1,x)Γ(a+1).

Aby znaleźć granicę tego prawdopodobieństwa, najpierw zauważamy, że możemy napisać drugi parametr w kategoriach pierwszego jako gdzie . Korzystając z wyniku pokazanego w Temme (1975) (Eqn 1.4, s. 1109), mamy asymptotyczną równoważność:x=a+2ayy=3/2

Γ(a+1,x)Γ(a+1)12+12erf(y)+29aπ(1+y2)exp(y2).

Korzystając z aproksymacji Stirlinga i ograniczającej definicji liczby wykładniczej, można również wykazać, że:

aΓ(a)aΓ(a)+xaex2πa(a1)a1/22πa(a1)a1/2+xaeax1=2πa(11a)a1/22πa(11a)a1/2+x(xa)a1/2eax1=2πae12πae1+xexaeax1=2πa2πa+x2πa2πa+1.

Zastępując odpowiednie wartości, otrzymujemy zatem:

H(n)=aΓ(a)aΓ(a)+xaexΓ(a+1,x)Γ(a+1)2πa2πa+1[12+12erf(32)+29aπ52exp(32)].

To daje nam limit:

limnH(n)=12+12erf(32)=0.9583677.

Daje nam to dokładny limit prawdopodobieństwa zainteresowania, który jest większy niż połowa.

Ben - Przywróć Monikę
źródło