Czy możliwe jest, aby PDF różnicy dwóch iid rv wyglądał jak prostokąt (zamiast, powiedzmy, trójkąta, który otrzymujemy, jeśli rv zostaną pobrane z rozkładu jednolitego).
tzn. czy jest możliwe, aby PDF f jk (dla dwóch iid rv pobranych z jakiejś dystrybucji) miał f (x) = 0,5 dla wszystkich -1 <x <1?
Nie ma żadnych ograniczeń w dystrybucji, z której bierzemy j i k, z wyjątkiem tego, że min wynosi -1, a maksimum wynosi 1.
Po eksperymentach myślę, że może to być niemożliwe.
random-variable
pdf
iid
Nathan
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Twierdzenie: Brak rozkładuDist dla którego A−B∼U(−1,1) kiedy A,B∼IID Dist .
Dowód: rozważ dwie zmienne losoweA,B∼IID Dist o wspólnej charakterystycznej funkcji φ . Oznaczając ich różnicę przezD=A−B . Charakterystyczną funkcją różnicy jest:
(Czwarty wiersz tej pracy wynika z faktu, że charakterystyczną funkcją jest hermitian .) A teraz, biorącD∼U(−1,1) daje konkretny formularz dla φD , który jest:
gdzie ta ostatnia jest (nienormalizowaną) funkcją sinc . Dlatego, aby spełnić wymagania dlaDist , potrzebujemy charakterystycznej funkcji φ z kwadratową normą podaną przez:
Lewa strona tego równania jest kwadratową normą i dlatego jest nieujemna, podczas gdy prawa strona jest funkcją ujemną w różnych miejscach. Dlatego nie ma rozwiązania tego równania, a zatem nie ma funkcji charakterystycznej spełniającej wymagania dla rozkładu. (Porada dla Fabiana za zwrócenie na to uwagi w powiązanym pytaniu na Mathematics.SE .) Stąd nie ma rozkładu z wymaganiami twierdzenia.■
źródło
Jest to stanowisko inżyniera elektryka w tej kwestii, z punktu widzenia bardziej odpowiedniego dla dsp.SE niż stats.SE, ale bez względu na to.
Przypuszczam, żeX i Y są ciągłymi zmiennymi losowymi ze wspólnym plikiem pdff(x) . A następnie, jeśliZ oznacza X−Y mamy to
Twierdzenie, żefZ∼U[−1,1] jest oczywiście nieważny, gdy wspólna dystrybucja X i Y zawiera atomy, ponieważ w takim przypadku rozkładZ będzie również zawierać atomy. Podejrzewam, że ograniczenie toX i Y mieć plik pdf, który można usunąć, a dowód czysto teoretyczny skonstruowany dla ogólnego przypadku, gdyX i Y niekoniecznie cieszą się pdf (ale ich różnica robi).
źródło