To pytanie do wywiadu dotyczące stanowiska analityka ilościowego, przedstawione tutaj . Załóżmy, że rysujemy z jednolitego rozkładu a losowania są takie same, jaka jest oczekiwana długość monotonicznie rosnącego rozkładu? Oznacza to, że przestajemy rysować, jeśli bieżące losowanie jest mniejsze lub równe poprzedniemu losowaniu.
Mam kilka pierwszych:
\ Pr (\ text {długość} = 2) = \ int_0 ^ 1 \ int_ {x_1} ^ 1 \ int_0 ^ {x_2} \ mathrm {d} x_3 \, \ mathrm {d} x_2 \, \ mathrm {d} x_1 = 1/3
\ Pr (\ text {length} = 3) = \ int_0 ^ 1 \ int_ {x_1} ^ 1 \ int_ {x_2} ^ 1 \ int_0 ^ {x_3} \ mathrm {d} x_4 \, \ mathrm { d} x_3 \, \ mathrm {d} x_2 \, \ mathrm {d} x_1 = 1/8
ale coraz trudniej jest mi wyliczyć te zagnieżdżone całki i nie dostaję „sztuczki” do uogólnienia na . Wiem, że ostateczna odpowiedź jest ułożona
Jakieś pomysły na odpowiedź na to pytanie?
źródło
Kolejna metoda rozwiązywania problemów, która zapewnia rozwiązanie bardziej ogólnego przypadku.
Załóżmy, że jest oczekiwaną długością sekwencji monotonicznej , tak że . Wartość, którą chcemy obliczyć, to . I wiemy, że . Uwzględnienie kolejnej wartości,F(x) {x1,x2,...} x≤x1≤x2≤⋯ F(0) F(1)=0
gdzie to gęstość U [0,1]. Więcπ(y)=1
Rozwiązując warunek brzegowy , otrzymujemy . Stąd .F(1)=0 F(x)=e(1−x)−1 F(0)=e−1
źródło
Inną metodą rozwiązywania jest bezpośrednie obliczenie całki.
Prawdopodobieństwo wygenerowania sekwencji, której rosnąca część ma długość wynosi , gdzie .≥n fn(0) fn(x)=∫1x∫1x1∫1x2...∫1xn−2∫1xn−1dxndxn−1...dx2dx1
Musimy obliczyć .fn(0)
Jeśli spróbujesz obliczyć kilka pierwszych , być może okaże się, żefn(x) fn(x)=∑nt=0(−x)tt!(n−t)!
Przypadek podstawowy: gdy ,n=1 f1(x)=∑1t=0(−x)tt!(n−t)!=1−x=∫1xdx1
Hipoteza indukcyjna: gdy ,n=k fn(x)=∑kt=0(−x)tt!(k−t)! , for k≥1
Krok indukcyjny: gdy ,n=k+1
Według indukcji matematycznej założenie to obowiązuje.
Tak więc otrzymujemy tofn(0)=1n!
ZatemE(length)=∑∞n=1Pr(length≥n)=∑∞n=11n!=e−1
źródło