Mój kurs statystyki nauczył mnie, że dyskretna zmienna losowa ma skończoną liczbę opcji ... Nie zdawałem sobie z tego sprawy. Wydawało mi się, że jak zestaw liczb całkowitych może być nieskończony. Googlowanie i sprawdzanie kilku stron internetowych, w tym kilku z kursów uniwersyteckich, nie potwierdziło tego wyraźnie; jednak większość stron twierdzi, że dyskretne zmienne losowe są policzalne - przypuszczam, że to oznacza numerację końcową?
Oczywiste jest, że ciągłe zmienne losowe są nieskończone, nawet jeśli (większość?) Często są ograniczone.
Ale jeśli dyskretne zmienne losowe mają skończone możliwości, to czym jest nieskończony rozkład liczb całkowitych? Nie jest dyskretny ani ciągły? Czy pytanie jest dyskusyjne, ponieważ zmienne są albo ciągłe i (z definicji) nieskończone, albo nieciągłe i skończone?
Odpowiedzi:
Jeśli tak powiedział twój kurs, to źle.
Chociaż rozkłady dyskretne mogą mieć skończoną liczbę możliwych wyników, nie są one wymagane; możesz mieć dyskretny rozkład, który ma nieskończoną liczbę możliwych wyników - liczba elementów powinna być nie więcej niż policzalna.
Typowym przykładem może być rozkład geometryczny; rozważ liczbę rzutów uczciwą monetą, dopóki nie zdobędziesz głowy. Nie ma skończonej górnej granicy liczby rzutów, które mogą być potrzebne. Może to potrwać 1 rzut lub 2 lub 3 lub 100 lub dowolną inną liczbę.
Rozkład dyskretny może być ujemny (weź pod uwagę różnicę między dwiema losowymi zmiennymi rozmieszczonymi geometrycznie; może to być dowolna liczba całkowita dodatnia lub ujemna).
Rozkład dyskretny nie musi jednak przekraczać liczb całkowitych, jak w moim przykładzie. To tylko powszechna sytuacja, a nie wymóg.
źródło
Piszę odpowiedź z perspektywą, że mam bardzo naiwne zrozumienie prawdopodobieństwa teoretycznego (tak więc, eksperci, proszę mnie poprawić!).
Zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych) jest funkcją , gdzie S jest przestrzenią próbki.X: S→ R S.
jest dyskretny, jeśli X ( S ) , obraz S indukowany przez X , jest policzalny. X jest ciągły, jeśli X maabsolutnie ciągły CDF. (Nie wiem zbyt wiele o funkcjach absolutnie ciągłych, więc nie mogę rozwinąć tej kwestii.)X X( S) S. X X X
Jednak nie wszystkie zmienne losowe są dyskretne lub ciągłe. Istnieją „mieszane” zmienne losowe, w których ma CDF, który jest sumą funkcji kroku i funkcji ciągłej ze wskaźnikami.X( s )
Możesz także mieć zmienne losowe, które nie są ani dyskretne, ani ciągłe, takie jak rozkład Cantora .
źródło
Aby zacytować stronę wikipedii na temat zmiennych ciągłych i dyskretnych :
Dlatego dyskretna zmienna losowa nie musi mieć „skończonej liczby opcji”, ale musi istnieć nieskończenie mała przerwa między możliwymi wartościami. Jest tak w przypadku rozkładu liczb całkowitych, ponieważ „odległość” między dwiema sąsiednimi liczbami całkowitymi wynosi 1 i nie może być mniejsza niż ta. Dlatego zmienna nie jest ciągła, ponieważ nie „kontynuuje” w tych lukach.
Edycja: Wiem, że istnieje prawdopodobnie lepszy i / lub bardziej precyzyjny sposób rozwiązania tego problemu, ale to pomogło mi osobiście zrozumieć różnicę.
źródło