Widzę pojęcie „wymienności” stosowane w różnych kontekstach (np. Modele bayesowskie), ale nigdy nie rozumiałem tego terminu bardzo dobrze.
Co oznacza ta koncepcja?
W jakich okolicznościach przywołuje się tę koncepcję i dlaczego?
41
Widzę pojęcie „wymienności” stosowane w różnych kontekstach (np. Modele bayesowskie), ale nigdy nie rozumiałem tego terminu bardzo dobrze.
Co oznacza ta koncepcja?
W jakich okolicznościach przywołuje się tę koncepcję i dlaczego?
Wymienność ma na celu uchwycenie symetrii w problemie, symetrii w sensie, który nie wymaga niezależności. Formalnie sekwencja jest wymienna, jeśli jej łączny rozkład prawdopodobieństwa jest funkcją symetryczną jej argumentów. Intuicyjnie oznacza to, że możemy zamienić lub zmienić zmienne w sekwencji bez zmiany ich wspólnego rozkładu. Na przykład każda sekwencja IID (niezależna, identycznie rozmieszczona) jest wymienna - ale nie na odwrót. Każda wymienna sekwencja jest jednakowo rozdzielona.
Wyobraź sobie stół z mnóstwem urn na górze, z których każdy zawiera różne proporcje czerwonych i zielonych kulek. Wybieramy urnę losowo (według niektórych wcześniejszych dystrybucji), a następnie pobieramy próbkę (bez wymiany) z wybranego urny.
Zauważ, że czerwone i zielone, które obserwujemy, NIE są niezależne. I może nie jest zaskoczeniem, że sekwencja czerwonych i zielonych, które obserwujemy, jest sekwencją wymienną. Co jest być może zaskakujące jest, że każdy wymienny sekwencja można sobie wyobrazić w ten sposób, przez odpowiedni dobór urny oraz uprzedniego dystrybucji. (patrz Diaconis / Freedman (1980) „Finite Exchangeable Sequences”, Ann. Prob.).
Ta koncepcja jest przywoływana w różnych miejscach i jest szczególnie przydatna w kontekstach bayesowskich, ponieważ w tych ustawieniach mamy wcześniejszą dystrybucję (nasza wiedza o rozmieszczeniu urn na stole) i istnieje prawdopodobieństwo, że będziemy biegać (model, który luźno reprezentuje procedurę pobierania próbek z podanej, stałej, urny). Obserwujemy sekwencję czerwonych i zielonych (dane) i wykorzystujemy te informacje, aby zaktualizować nasze przekonania na temat konkretnej urny w naszej ręce (tj. Naszej tylnej), lub bardziej ogólnie, urny na stole.
Wymienne zmienne losowe są szczególnie wspaniałe, ponieważ jeśli mamy nieskończenie wiele z nich, to mamy do dyspozycji tony maszyn matematycznych, z których najmniejszą jest twierdzenie de Finettiego; wprowadzenie na Wikipedię.