Niech będzie losową próbką z rozkładu gamma .
Niech i będą odpowiednio średnią próbną i wariancją próbki.
Następnie udowodnij lub obal, że i są niezależne.
Moja próba: Ponieważ , musimy sprawdzić niezależnośći , ale jak mam ustalić niezależność między nimi?
Odpowiedzi:
Jest uroczy, prosty, intuicyjnie oczywisty pokaz dla całkiα . Opiera się tylko na dobrze znanych właściwościach rozkładu jednolitego, rozkładu gamma, procesach Poissona i zmiennych losowych i wygląda następująco:
Każdy to czas oczekiwania na wystąpienie punktów procesu Poissona.Xja α
Suma jest zatem czasem oczekiwania na wystąpienie punktów tego procesu. Nazwijmy te punktyY=X1+X2)+ ⋯ +Xn n α Z1,Z2), ... ,Zn α.
Zależnie od pierwsze punkty są niezależnie równomiernie rozmieszczone między aY n α - 1 0 Y.
Dlatego też stosunki są niezależnie równomiernie rozmieszczone równomiernie między a W szczególności ich rozkłady nie zależą odZja/ Y, i = 1 , 2 , … , n α - 1 0 1. Y.
W konsekwencji dowolna (mierzalna) funkcja jest niezależna odZja/ Y Y.
Wśród takich funkcji są (gdzie wsporniki Oznaczmy statystyki zamówienie z ).
W tym momencie po prostu zauważ, że można zapisać jawnie jako (mierzalną) funkcję i dlatego jest on niezależny odS2/X¯2 Xi/Y X¯=Y/n.
źródło
Chcesz udowodnić, że to znaczyX¯ i n rv.s Xi/X¯
są niezależne lub równoważne od sumy U:=∑Xi
i n stosunki Wi:=Xi/U są niezależne. Możemy udowodnić nieco bardziej ogólny wynik, zakładając, żeXi mieć możliwie różne kształty αi , ale w tej samej skali β>0 co można założyć β=1 .
Rozważ wspólną transformację Laplace'aU i W=[Wi]ni = 1
to znaczy,
Zastrzeżone . To pytanie odnosi się do twierdzenia Lukacsa o niezależności od sumy proporcjonalnej , stąd artykuł Eugene Lukacsa Charakterystyka rozkładu gamma . Właśnie wyodrębniłem tutaj odpowiednią część tego artykułu (mianowicie s. 324), z pewnymi zmianami w notacjach. Zastąpiłem także użycie funkcji charakterystycznej transformacją Laplace'a, aby uniknąć zmian zmiennych obejmujących liczby zespolone.
źródło
PozwolićU=∑iXi . Zauważ, że(Xi/U)i jest pomocniczą statystyką β , tj. jego dystrybucja nie zależy od β .
OdU jest kompletną wystarczającą statystyką dla β , jest niezależny od (Xi/U)i według twierdzenia Basu, więc wniosek jest następujący.
Nie jestem pewien budowy dodatkowej statystyki, ponieważ jest ona tylko niezależnaβ , nie α .
źródło