Niezależność statystyki od rozkładu gamma

9

Niech będzie losową próbką z rozkładu gamma .X1,...,XnGamma(α,β)

Niech i będą odpowiednio średnią próbną i wariancją próbki.X¯S2

Następnie udowodnij lub obal, że i są niezależne.X¯S2/X¯2


Moja próba: Ponieważ , musimy sprawdzić niezależnośćS2/X¯2=1n1i=1n(XiX¯1)2X¯i , ale jak mam ustalić niezależność między nimi?(XiX¯)i=1n

dzwonek
źródło
2
Rozważmy stawów Laplace'a sumy i wektor proporcji . To jest ; możesz pokazać, że jest to iloczyn funkcji i funkcji . U: =jaXjaW.W.ja: =Xja/Umi{exp[-tU-zW.]}tz
Yves
@Yves Czy możesz sprawdzić moją odpowiedź zamieszczoną poniżej?
bellcircle

Odpowiedzi:

4

Jest uroczy, prosty, intuicyjnie oczywisty pokaz dla całkiα. Opiera się tylko na dobrze znanych właściwościach rozkładu jednolitego, rozkładu gamma, procesach Poissona i zmiennych losowych i wygląda następująco:

  1. Każdy to czas oczekiwania na wystąpienie punktów procesu Poissona.Xjaα

  2. Suma jest zatem czasem oczekiwania na wystąpienie punktów tego procesu. Nazwijmy te punktyY=X1+X2)++XnnαZ1,Z2),,Znα.

  3. Zależnie od pierwsze punkty są niezależnie równomiernie rozmieszczone między aYnα-10Y.

  4. Dlatego też stosunki są niezależnie równomiernie rozmieszczone równomiernie między a W szczególności ich rozkłady nie zależą odZja/Y, ja=1,2),,nα-101.Y.

  5. W konsekwencji dowolna (mierzalna) funkcja jest niezależna odZja/YY.

  6. Wśród takich funkcji są (gdzie wsporniki Oznaczmy statystyki zamówienie z ).

    X1/Y=Z[α]/YX2/Y=Z[2α]/YZ[α]/YXn1/Y=Z[(n1)α]/YZ[(n2)α]/YXn/Y=1Z[(n1)α]/Y
    []Zi

W tym momencie po prostu zauważ, że można zapisać jawnie jako (mierzalną) funkcję i dlatego jest on niezależny odS2/X¯2Xi/YX¯=Y/n.

Whuber
źródło
3

Chcesz udowodnić, że to znaczy X¯ i n rv.s Xi/X¯ są niezależne lub równoważne od sumy U:=Xi i n stosunki Wi:=Xi/Usą niezależne. Możemy udowodnić nieco bardziej ogólny wynik, zakładając, żeXi mieć możliwie różne kształty αi, ale w tej samej skali β>0 co można założyć β=1.

Rozważ wspólną transformację Laplace'a U i W=[W.ja]ja=1n to znaczy,

ψ(t,z): =mi{exp[-tU-zW.}=mi{exp[-tjaXja-jazjaXjaU]}
Wyraża się to jako n-wymiarowa całka ponad (0,)n
Cstexp[(1+t)(x1++xn)z1x1++znxnx1++xn]x1α11xnαn1dx
gdzie stała jest względem x. Jeśli wprowadzimy nowe zmienne pod znakiem integralnym przez ustawienie y:=(1+t)x, widzimy łatwo, że całka może być zapisana jako iloczyn dwóch funkcji, z których jedna zależy od t drugi w zależności od wektora z. To świadczy o tymU i W są niezależne.

Zastrzeżone . To pytanie odnosi się do twierdzenia Lukacsa o niezależności od sumy proporcjonalnej , stąd artykuł Eugene Lukacsa Charakterystyka rozkładu gamma . Właśnie wyodrębniłem tutaj odpowiednią część tego artykułu (mianowicie s. 324), z pewnymi zmianami w notacjach. Zastąpiłem także użycie funkcji charakterystycznej transformacją Laplace'a, aby uniknąć zmian zmiennych obejmujących liczby zespolone.

Yves
źródło
1
(+1) Za artykuł na temat charakterystyki rozkładu gamma.
StubbornAtom
1

Pozwolić U=iXi. Zauważ, że(Xi/U)i jest pomocniczą statystyką β, tj. jego dystrybucja nie zależy od β.

Od U jest kompletną wystarczającą statystyką dla β, jest niezależny od (Xi/U)i według twierdzenia Basu, więc wniosek jest następujący.

Nie jestem pewien budowy dodatkowej statystyki, ponieważ jest ona tylko niezależna β, nie α.

dzwonek
źródło
Dobrze. Twierdzenie to można przywołaćαuważane za ustalone, więc biorąc pod uwagę jednoparametrowy model statystyczny.
Yves