Próbuję napisać funkcję, która generuje równomiernie rozłożony hałas pochodzący z kuli p-norm o wymiarach :$n$

Znalazłem możliwe rozwiązania dla kręgów ( ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ), jednak mam problem z rozszerzeniem tego dla różnych wartości .$p = 2$$p$

Próbowałem to zrobić, po prostu losując próbkę z jednolitego rozkładu i przerysowując, gdy nie spełnia ona określonego ograniczenia. Jednak oprócz tego, że jest to brzydkie rozwiązanie, staje się również niewykonalne obliczeniowo w przypadku dużych wymiarów.

Pełne rozwiązanie znalazłem w dokumencie sugerowanym przez kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ). Naprawdę mam problem ze zrozumieniem matematyki, ale ostateczny algorytm jest dość prosty. jeśli mamy wymiarów, promień ri norma p niż:$n$$r$$p$

1) generuj niezależnych losowych rzeczywistych skalarów ε i = ˉ G ( 1 / p , p ) , gdzie ˉ G ( μ , σ 2 ) jest uogólnionym rozkładem Gaussa (o innej mocy zamiast wykładnika e - | x | p zamiast tego po prostu p = 2 )$n$$\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$$\bar{G}(\mu, \sigma^2)$$e^{−|x|^p}$$p=2$

2) konstruować wektor składników s i ∗ ε i , gdzie s i są niezależnymi losowymi znakami$x$$s_i * \varepsilon_i$$s_i$

3) Wygeneruj , gdzie jest zmienną losową równomiernie rozmieszczoną w przedziale [0, 1].$z = w^{1/n}$$w$

4) return$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

Korzystanie z jednorodnie rozmieszczonych zmiennych wielowymiarowych

Taeke zapewnia link do artykułu, który w poniższym tekście jest bardziej intuicyjny, wyjaśniając w szczególności przypadki 2-normalne i 1-normowe.

$\Vert x \Vert_2 \leq r$

przykładowy kierunek

Możesz użyć tego wyniku http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html

Wielowymiarowa zmienna rozkładowa Gaussa (z macierzą kowariancji tożsamości) zależy tylko od odległości lub sumy kwadratów.$X$

Zatem jest równomiernie rozmieszczony na powierzchni n-wymiarowej hipersfery.$\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

odległość próbki

Aby ukończyć, wystarczy próbkować odległość, aby zmienić jednorodny rozkład na kuli na jednorodny rozkład w kuli. (który jest mniej więcej podobny do połączonego przykładu wybierania punktów na dysku)

Jeśli po prostu spróbujesz jako rozkład równomierny, będziesz mieć stosunkowo większą gęstość w pobliżu środka (objętość skaluje się jako więc ułamek punktów kończy się na objętości , która jest bardziej gęsta blisko centrum i nie oznaczałoby równomiernego rozkładu)r n r r $r$$r^n$$r$$r^n$

Jeśli zamiast tego użyjesz pierwiastka zmiennej próbkowanej z rozkładu jednolitego, otrzymasz rozkład parzysty.$n$

1-norm$\Vert x \Vert_1 \leq r$

kierunek

W tym przypadku próbkujesz z rozkładu Laplace'a zamiast rozkładu Gaussa i dzielisz przez 1-normę. równomiernie rozmieszczone na n-wymiarowej norma 1 kuli.$X$$\frac{X}{\vert X \vert_1}$

Nie mam formalnego dowodu, tylko intuicję

^{(ponieważ plik pdf jest niezależny od położenia, można oczekiwać, że każdy nieskończenie mały obszar / objętość o tej samej 1-normie będzie miał takie samo prawdopodobieństwo a gdy zwiniesz go na powierzchnię jednostki, to samo )f ( x ) d $f(x) dV$$f(x) dA$}

ale testowanie za pomocą symulacji wygląda dobrze.

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

dystans

Odległość jest podobna jak w przypadku 2-normowym (głośność nadal skaluje się jako ).$r^n$

p-norm$\Vert x \Vert_p \leq r$

W takim przypadku, jeśli chcesz zastosować tę samą zasadę, musisz próbkować z dystrybucji za pomocą ( ). Są to uogólnione rozkłady normalne i prawdopodobnie odnoszą się do rozkładu wspomnianego przez Taeke.$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$$G()$