Niech jest losowa próbka pobierana z populacji, w której \ theta \ w \ mathbb R .N ( θ , θ 2 ) θ ∈ R
Szukam UMVUE z .
Łączna gęstość wynosi
, gdzie i .
Tutaj zależy od i do i jest niezależny od . Zatem według twierdzenia faktoryzacji Fishera-Neymana dwuwymiarowa statystyka wystarcza do .θ x 1 , ⋯ , x n T ( x ) = ( ∑ n i = 1 x i , ∑ n i = 1 x 2 i ) h θ T ( X ) = ( ∑ n i = 1 X i , ∑ n i = 1 X 2 i ) θ
Jednak nie jest kompletną statystyką. Jest tak, ponieważE θ [ 2 ( n ∑ i = 1 X i ) 2 - ( n + 1 ) n ∑ i = 1 X 2 i ] = 2 n ( 1 + n ) θ 2 - ( n + 1 ) 2 n θ 2 = 0
i funkcja nie jest identycznie zerowy.
Ale wiem, że jest minimalną wystarczającą statystyką.
Nie jestem pewien, ale sądzę, że pełna statystyka dla tej zakrzywionej rodziny wykładniczej może nie istnieć. Jak więc mam zdobyć UMVUE? Jeśli pełna statystyka nie istnieje, czy obiektywnym estymatorem ( w tym przypadku ), który jest funkcją minimalnej wystarczającej statystyki, może być UMVUE? (Wątek pokrewny: Jaki jest niezbędny warunek dla bezstronnego estymatora, aby był UMVUE? )
Co się stanie, jeśli wezmę pod uwagę najlepszy liniowy estymator obiektywny (NIEBIESKI) z ? Czy NIEBIESKI może być UMVUE?
Załóżmy, że rozważam liniowy estymator obiektywny z gdzie i . Ponieważ wiemy, że . Moim pomysłem jest zminimalizowanie , aby był NIEBIESKI z . Czy byłoby wtedy UMVUE ?θEθ(cS)=θVar(T∗)T∗θT∗θ
Wziąłem liniowy obiektywny estymator oparty na i ponieważ jest również wystarczające dla . S( ˉ X ,S2)θ
Edytować:
Rzeczywiście dużo pracy włożono w oszacowanie w bardziej ogólnej rodzinie której znane jest . Oto niektóre z najbardziej odpowiednich odniesień:
Szacowanie średniej rozkładu normalnego ze znanym współczynnikiem zmienności według Glesera / Healy.
Uwaga na temat szacowania średniej rozkładu normalnego ze znanym współczynnikiem zmienności według RA Khan.
Uwaga na temat szacowania średniej rozkładu normalnego ze znanym współczynnikiem zmienności przez RA Khana.
Wyciąg z tego rozdziału.
Pierwsze z tych odniesień znalazłem w tym ćwiczeniu na podstawie wnioskowania statystycznego Caselli / Berger:
Moje pytanie nie dotyczy jednak tego ćwiczenia.
Ostatnia uwaga (wyciąg z rozdziału) mówi, że UMVUE z nie istnieje, ponieważ minimalna wystarczająca statystyka nie jest kompletna. Chciałbym wiedzieć, co pozwala nam stwierdzić, że UMVUE nie istnieje po prostu dlatego, że nie można znaleźć kompletnej wystarczającej statystyki? Czy jest jakiś związany z tym wynik? Widzę istnienie UMVUE, nawet jeśli w połączonym wątku nie ma wystarczających statystyk.
Zakładając teraz, że nie istnieje obiektywnie estymator o jednolitej minimalnej wariancji, jakie powinny być nasze następne kryteria wyboru „najlepszego” estymatora? Czy szukamy minimalnego MSE, minimalnej wariancji czy MLE? A może wybór kryteriów zależy od naszego celu oszacowania?
Załóżmy na przykład, że mam bezstronny estymator i inny tendencyjny estymator z . Załóżmy, że MSE dla (co jest jego wariancją) jest większe niż dla . Ponieważ minimalizacja MSE oznacza jednocześnie minimalizację błędu systematycznego i wariancji, uważam, że powinien być „lepszym” wyborem estymatora niż chociaż ten pierwszy jest stronniczy.
Prawdopodobne wybory estymatorów są wymienione na stronie 4 ostatniej nuty.
Poniższy fragment pochodzi z Theory of Point Estimation autorstwa Lehmann / Casella (drugie wydanie, strony 87-88):
Jest wysoce prawdopodobne, że źle wszystko zrozumiałem, ale czy ostatnie zdanie mówi, że w pewnych warunkach istnienie pełnej statystyki jest konieczne do istnienia UMVUE? Jeśli tak, to czy powinienem na to spojrzeć?
Ten ostatni wynik z powodu RR Bahadur, który jest wymieniony na końcu, odnosi się do tej uwagi.
Po dalszych poszukiwaniach znalazłem wynik stwierdzający, że jeśli minimalna wystarczająca statystyka nie jest kompletna, to kompletna statystyka nie istnieje. Przynajmniej jestem przekonany, że nie ma tu pełnej statystyki.
Innym wynikiem, o którym zapomniałem wziąć pod uwagę, jest ten, który z grubsza mówi, że koniecznym i wystarczającym warunkiem dla bezstronnego estymatora, jakim jest UMVUE, jest to, że musi on być nieskorelowany z każdym bezstronnym estymatorem zerowym. Próbowałem użyć tego twierdzenia, aby pokazać, że UMVUE nie istnieje tutaj, a także fakt, że bezstronny estymator, taki jak nie jest UMVUE. Ale to nie działa tak prosto jak to zrobiono, na przykład tutaj , na końcowej ilustracji.