Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu jednolitego (ciągłego) pokazano powyżej. Pole pod krzywą wynosi 1 - co ma sens, ponieważ suma wszystkich prawdopodobieństw w rozkładzie prawdopodobieństwa wynosi 1.
Formalnie powyższą funkcję prawdopodobieństwa (f (x)) można zdefiniować jako
1 / (ba) dla x w [a, b]
i 0 w przeciwnym razie
Zastanów się, że muszę wybrać liczbę rzeczywistą między a (powiedzmy 2) ib (powiedzmy 6). To sprawia, że jednolite prawdopodobieństwo = 0,25. Ponieważ jednak w tym przedziale jest nieskończona liczba liczb, czyż suma wszystkich prawdopodobieństw nie powinna się sumować do nieskończoności? Co przeoczam?
Czy f (x) nie jest prawdopodobieństwem wystąpienia liczby x?
Odpowiedzi:
źródło
Ponieważ każdy termin w podsumowaniu jest ważony przez nieskończenie małe dx . Znaczenie tego można chyba najłatwiej zrozumieć, ostrożnie przechodząc przez bardzo prosty przykład.
Rozważ użycie sumowania Riemanna do obliczenia obszaru pod następującym prostokątnym obszarem (wybrano prostokąt, aby usunąć aspekt aproksymacji sumowania Riemanna, który nie jest tutaj celem): ] Możemy obliczyć obszar przy użyciu 2 podregionów lub przy użyciu 4 podregionów . W przypadku 2 podregionów (oznaczonoAi ), obszary podano przez
Dlatego zawsze zwracam uwagę studentów, że całka to nie tylko symbol∫ , ale para symboli∫dx .
źródło
Nieprawidłowo interpretujesz rozkład prawdopodobieństwa - jest to nieskończona liczba nieskończenie podzielonych prawdopodobieństw, więc nie możesz powiedzieć, że „prawdopodobieństwo wyciągnięcia wartości 0,5 z rozkładu równomiernego (0, 1)”, ponieważ prawdopodobieństwo to zero - istnieje nieskończona liczba możliwych wartości, które można uzyskać, a wszystkie z nich są jednakowo prawdopodobne, więc jasne jest, że prawdopodobieństwo każdego indywidualnego wyniku jest1∞=0 [1] .
Zamiast tego możesz spojrzeć na prawdopodobieństwo szeregu wyników i zmierzyć je za pomocą obszarów (a zatem całek). Na przykład, jeśli rysujesz z jednolitego rozkładu (0, 1) (z pdff(x)=1 dla x∈[0,1] i f(x)=0 w przeciwnym razie), to prawdopodobieństwo, że wynik będzie pomiędzy 0.2 i 0.3 jest
tzn. masz 10% szansy na uzyskanie wyniku w tym zakresie.
[1] Przepraszamy za wszystkie osoby mające zawał serca z powodu mojego nadmiernego uproszczenia obliczeń.
źródło
Zasadniczo twoje rozumowanie zawodzi w tym założeniu:
Jest to problem matematyczny znany od czasów paradoksów Elei .
Dwa z jego twierdzeń były takie
Oba zostały oparte na twierdzeniu, że można zbudować nieskończoną sekwencję liczb dodatnich (w pierwszym przypadku mówiąc, że strzała musi przelecieć nieskończenie razy połowę pozostałej drogi do celu, w drugim przypadku mówiąc, że Achilles ma aby osiągnąć pozycję, w której wcześniej był żółw, a tymczasem żółw przemieszcza się do nowej pozycji, która staje się naszym kolejnym punktem odniesienia).
Szybko do przodu doprowadziło to do odkrycia nieskończonych kwot.
Tak więc ogólnie suma nieskończona wiele liczb dodatnich niekoniecznie musi być nieskończona ; może to jednak nie być nieskończone tylko wtedy, gdy (skrajne uproszczenie, przepraszam za to) prawie wszystkie liczby w sekwencji są bardzo bliskie zeru, bez względu na to, jak bliskie zeru są.
Infinity gra jeszcze więcej lew. Porządek , w którym dodawanie elementów sekwencji jest zbyt ważne i może doprowadzić do sytuacji, że zmiana kolejności daje różne wyniki!
Dowiedz się więcej o paradoksach nieskończoności . Możesz być zaskoczony.
źródło
Mam nadzieję, że to ma sens.
źródło