Jaka jest oczekiwana wartość logarytmu rozkładu gamma?

14

Jeśli oczekiwana wartość to , jaka jest oczekiwana wartość ? Czy można to obliczyć analitycznie?Gamma(α,β)αβlog(Gamma(α,β))

Parametryzacja, której używam, jest kształtem.

Stefano Vespucci
źródło
4
Jeśli , to zgodnie z mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], gdzie PolyGamma oznacza funkcję E [ log ( X ) ] = log ( b )XGamma(a,b)E[log(X)]=log(b)
digammy
1
Powinienem dodać, że nie podajesz formatu pdf swojej zmiennej Gamma, a ponieważ zgłaszasz, że średnia to (podczas gdy dla mnie byłoby to , wygląda na to, że używasz innej notacji niż ja, gdzie twojaa b β = 1 / bα/βabβ=1/b
wilki
Prawda, przepraszam Parametryzacja, której używam, jest kształtem. Spróbuję znaleźć to dla tej parametryzacji . Czy możesz zasugerować zapytanie dotyczące Mathematica / WolframAlpha? βαΓ(α)xα1eβx
Stefano Vespucci,
1
Zobacz także Johnson, Lotz i Balakrishna (1994) ciągłe rozkłady jednowymiarowe Vol 1 2nd Ed. s. 337-349.
Björn,
3
Zobacz także Wikipedia: Gamma Distribution # Logarytmiczne oczekiwanie i wariancja
Glen_b -Reinstate Monica

Odpowiedzi:

16

Ten (może zaskakujący) można wykonać za pomocą prostych operacji elementarnych (wykorzystując ulubioną sztuczkę Richarda Feynmana polegającą na odróżnianiu pod znakiem integralnym parametru).


Zakładamy, że ma rozkład i chcemy znaleźć oczekiwanie Po pierwsze, ponieważ jest parametrem skali, jego efektem będzie przesunięcie logarytmu o (Jeśli użyjesz jako parametru szybkości , tak jak w pytaniu, spowoduje to przesunięcie logarytmu o ) To pozwala nam pracować z przypadkiemXΓ(α,β)Y=log(X).βlog β . β - log β . β = 1.logβ.βlogβ.β=1.

Po tym uproszczeniu element prawdopodobieństwa wynosiX

fX(x)=1Γ(α)xαexdxx

gdzie jest stałą normalizującąΓ(α)

Γ(α)=0xαexdxx.

Podstawienie co pociąga za sobą daje element prawdopodobieństwa ,x=ey,dx/x=dy,Y

fY(y)=1Γ(α)eαyeydy.

Możliwe wartości mieszczą się teraz we wszystkich liczbach rzeczywistychYR.

Ponieważ musi integrować się z jednością, otrzymujemy (trywialnie)fY

(1)Γ(α)=Reαyeydy.

Zauważ, że to funkcjaŁatwe obliczenia dająfY(y)α.

ddαeαyeydy=yeαyeydy=Γ(α)yfY(y).

Następny krok wykorzystuje relację uzyskaną przez podzielenie obu stron tej tożsamości przez odsłaniając tym samym przedmiot, który musimy zintegrować, aby znaleźć oczekiwanie; mianowicieΓ(α),yfY(y):

E(Y)=RyfY(y)=1Γ(α)Rddαeαyeydy=1Γ(α)ddαReαyeydy=1Γ(α)ddαΓ(α)=ddαlogΓ(α)=ψ(α),

logarytmiczna pochodna funkcji gamma (aka „ polygamma ”). Całka została obliczona przy użyciu tożsamości(1).

Ponowne wprowadzenie współczynnika pokazuje ogólny wynikβ

E(log(X))=logβ+ψ(α)

do parametryzacji skali (gdzie funkcja gęstości zależy od ) lubx/β

E(log(X))=logβ+ψ(α)

do parametryzacji szybkości (gdzie funkcja gęstości zależy od ).xβ

Whuber
źródło
Z funkcją poligammy masz na myśli, który porządek (np. 0,1) jest digammą (jak wskazał @wolfies), trigamma?
Stefano Vespucci
1
@Stefano Mam na myśli logarytmiczną pochodną gamma, jak powiedziano. Oznacza to, żeψ(z)=Γ(z)/Γ(z).
whuber
14

Odpowiedź @whuber jest całkiem fajna; Zasadniczo powtórzę jego odpowiedź w bardziej ogólnej formie, która lepiej łączy (moim zdaniem) z teorią statystyczną i która wyjaśnia moc całej techniki.

Rozważ rodzinę rozkładów które składają się na wykładniczą rodzinę , co oznacza, że ​​przyjmują gęstość w odniesieniu do niektórych popularnych miar dominujących (zwykle miara Lebesgue'a lub liczenia). Rozróżniając obie strony f θ ( x ) d x = 1 w odniesieniu do θ dochodzimy do równania wyniku f θ ( x ) = f θ ( x{Fθ:θΘ}f θ ( x ) = exp { s ( x ) θ - A ( θ ) + h ( x ) }

fθ(x)=exp{s(x)θA(θ)+h(x)}

fθ(x) dx=1
θ
()fθ(x)=fθ(x)fθ(x)fθ(x)=uθ(x)fθ(x) dx=0
gdzieuθ(x)=ddθlogfθ(x)jestfunkcją punktacjii zdefiniowaliśmyfθ(x)=ddθfθ(x). W przypadku rodziny wykładniczej mamy
uθ(x)=s(x)A(θ)
gdzieA(θ)=ddθA(θ); jest to czasami nazywanefunkcją kumulacyjną, ponieważ jest wyraźnie ściśle związane z funkcją generującą kumulację. Z()wynika, żeEθ[s(X)]=A(θ).

Teraz pokazujemy, że to pomaga nam obliczyć oczekiwania. Możemy zapisać gęstość gamma ze stałym β jako wykładniczą rodziną

fθ(x)=βαΓ(α)xα1eβx=exp{log(x)α+αlogβlogΓ(α)βx}.
αs(x)=logxA(α)=logΓ(α)αlogβddαA(α)
E[logX]=ψ(α)logβ.

chłopak
źródło
2
+1 Dziękujemy za zwrócenie uwagi na to miłe uogólnienie.
whuber