Jaka jest oczekiwana wartość logarytmu rozkładu gamma?

Jeśli oczekiwana wartość to , jaka jest oczekiwana wartość ? Czy można to obliczyć analitycznie?$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$$\frac{\alpha}{\beta}$$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Parametryzacja, której używam, jest kształtem.

Ten (może zaskakujący) można wykonać za pomocą prostych operacji elementarnych (wykorzystując ulubioną sztuczkę Richarda Feynmana polegającą na odróżnianiu pod znakiem integralnym parametru).

---

Zakładamy, że ma rozkład i chcemy znaleźć oczekiwanie Po pierwsze, ponieważ jest parametrem skali, jego efektem będzie przesunięcie logarytmu o (Jeśli użyjesz jako parametru szybkości , tak jak w pytaniu, spowoduje to przesunięcie logarytmu o ) To pozwala nam pracować z przypadkiem$X$$\Gamma(\alpha,\beta)$$Y=\log(X).$$\beta$log β . β - log β . β = 1.$\log\beta.$$\beta$$-\log\beta.$$\beta=1.$

Po tym uproszczeniu element prawdopodobieństwa wynosi$X$

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

gdzie jest stałą normalizującą$\Gamma(\alpha)$

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

Podstawienie co pociąga za sobą daje element prawdopodobieństwa ,$x=e^y,$$\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$$Y$

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

Możliwe wartości mieszczą się teraz we wszystkich liczbach rzeczywistych$Y$$\mathbb{R}.$

Ponieważ musi integrować się z jednością, otrzymujemy (trywialnie)$f_Y$

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

Zauważ, że to funkcjaŁatwe obliczenia dają$f_Y(y)$$\alpha.$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

Następny krok wykorzystuje relację uzyskaną przez podzielenie obu stron tej tożsamości przez odsłaniając tym samym przedmiot, który musimy zintegrować, aby znaleźć oczekiwanie; mianowicie$\Gamma(\alpha),$$y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

logarytmiczna pochodna funkcji gamma (aka „ polygamma ”). Całka została obliczona przy użyciu tożsamości$(1).$

Ponowne wprowadzenie współczynnika pokazuje ogólny wynik$\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

do parametryzacji skali (gdzie funkcja gęstości zależy od ) lub$x/\beta$

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

do parametryzacji szybkości (gdzie funkcja gęstości zależy od ).$x\beta$

Odpowiedź @whuber jest całkiem fajna; Zasadniczo powtórzę jego odpowiedź w bardziej ogólnej formie, która lepiej łączy (moim zdaniem) z teorią statystyczną i która wyjaśnia moc całej techniki.

Rozważ rodzinę rozkładów które składają się na wykładniczą rodzinę , co oznacza, że ​​przyjmują gęstość w odniesieniu do niektórych popularnych miar dominujących (zwykle miara Lebesgue'a lub liczenia). Rozróżniając obie strony ∫ f θ ( x ) d x = 1 w odniesieniu do θ dochodzimy do równania wyniku ∫ f ′ θ ( x ) = ∫ f ′ θ ( x$\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$f θ ( x ) = exp { s ( x ) θ - A ( θ ) + h ( x ) }

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ gdzie$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$jestfunkcją punktacjii zdefiniowaliśmy$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$. W przypadku rodziny wykładniczej mamy $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ gdzie$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$; jest to czasami nazywanefunkcją kumulacyjną, ponieważ jest wyraźnie ściśle związane z funkcją generującą kumulację. Z$(\dagger)$wynika, że$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$.

Teraz pokazujemy, że to pomaga nam obliczyć oczekiwania. Możemy zapisać gęstość gamma ze stałym $\beta$ jako wykładniczą rodziną

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ $\alpha$$s(x) = \log x$$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$