(To pytanie jest inspirowana przez tego komentarza z Xi'an ).
Dobrze wiadomo, że jeśli poprzednia dystrybucja jest właściwa, a prawdopodobieństwo jest dobrze określone, to rozkład tylny jest poprawne prawie na pewno.
W niektórych przypadkach używamy zamiast tego temperowanego lub potęgowanego prawdopodobieństwa, prowadzącego do pseudo-tylnej
dla niektórych (na przykład może to mieć zalety obliczeniowe).
Czy w tym otoczeniu możliwe jest posiadanie właściwego przedniego, ale niewłaściwego pseudo-tylnego?
Odpowiedzi:
W przypadku być może jest to argument wskazujący, że niemożliwe jest zbudowanie takiego a posteriora?α≤1
Chcielibyśmy dowiedzieć się, czy jest to możliwe dla .∫π~(θ|x)dθ=∞
W RHS:
Jeśli , jest funkcją wklęsłą, więc według nierówności Jensena:α≤1 xα
... gdzie jak wskazał Xi'an, jest stałą normalizującą (dowód).m(x)
źródło
Można użyć wyniku w odpowiedzi @ InfProbSciX, aby ogólnie udowodnić wynik. Przepisz jako Jeśli , mamy powyżej przypadek nierówności Jensena, ponieważ wiemy, że można normalizować. Podobnie, jeśli , możemy napisać używając , znowu wpadając w ten sam przypadek, ponieważ wiemy, że można normalizować. Teraz można użyć (silnej) indukcji, aby ogólnie pokazać przypadek.L(θ∣x)απ(θ) L(θ∣x)α−1L(θ∣x)π(θ). 1≤α≤2 L(x|θ)π(θ) 2≤α≤3 L(x|θ)α−pL(x|θ)pπ(θ), 1≤p≤2 L(x|θ)pπ(θ)
Stare komentarze
Nie jestem pewien, czy jest to bardzo przydatne, ale ponieważ nie mogę komentować, pozostawię to w odpowiedzi. Oprócz doskonałej uwagi @ InfProbSciX na temat , jeśli przyjmie się dalsze założenie, że , to nie jest możliwe posiadanie właściwego wcześniejszego, ale niewłaściwego pseudo-tylnego dla . Na przykład, jeśli wiemy, że istnieje drugi ( -ty) moment , wiemy, że jest on w ( ), a zatem pseudo-tylny będzie właściwy dla . Sekcja 1 w tych uwagachα≤1 L(θ∣x)∈Lp 1<α≤p p L(θ∣x) L2 Lp 0≤α≤2 idzie nieco bardziej szczegółowo, ale niestety nie jest jasne, jak szeroka jest klasa powiedzmy pdfs. Przepraszam, jeśli mówię tu poza kolejnością, naprawdę chciałem to zostawić jako komentarz.L10
źródło