Jak symulować z kopuły Gaussa?

Załóżmy, że mam dwa jednoznaczne rozkłady krańcowe, powiedzmy i , z których mogę symulować. Teraz skonstruuj ich wspólny rozkład za pomocą kopuły Gaussa , oznaczonej jako . Wszystkie parametry są znane.$F$$G$$C(F,G;\Sigma)$

Czy istnieje metoda inna niż MCMC do symulacji z tej kopuły?

Istnieje bardzo prosta metoda symulacji z kopuły Gaussa, która opiera się na definicjach wielowymiarowego rozkładu normalnego i kopuły Gaussa.

Zacznę od podania wymaganej definicji i właściwości wielowymiarowego rozkładu normalnego, a następnie kopuły Gaussa, a następnie przedstawię algorytm do symulacji z kopuły Gaussa.

Wielowymiarowy rozkład normalny
Wektor losowy ma wielowymiarowy rozkład normalny, jeśli X d = μ + A Z , gdzie Z jest k- wymiarowym wektorem niezależnych standardowych normalnych zmiennych losowych, μ jest a d - wymiarowy wektor stałych, a A jest macierzą d × k stałych. Notacja d$X = (X_1, \ldots, X_d)'$

$$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$$ $Z$$k$$\mu$$d$$A$$d\times k$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$oznacza równość w dystrybucji. Tak więc każdy składnik jest zasadniczo ważoną sumą niezależnych standardowych normalnych zmiennych losowych. Od właściwości średniej wektorów i macierzy kowariancji mamy E ( X ) = μ i C o V ( X ) = Σ z Ď = A A " , co prowadzi do naturalnego zapisu X ~ N d ( μ , Σ ) .$X$
${\rm E}(X) = \mu$${\rm cov}(X) = \Sigma$$\Sigma = AA'$$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

Gaussa kopuła Gaussa kopuła jest zdefiniowany implicitely z wielowymiarowej rozkładu normalnego, to znaczy kopułę Gaussa jest kopuła związane z wielowymiarowej rozkładu normalnego. Konkretnie, z twierdzenia Sklara kopula Gaussa to C P ( u 1 , … , u d ) = Φ P ( Φ - 1 ( u 1 ) , … , Φ - 1 ( u d ) ) , gdzie Φ

$$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$$ $\Phi$oznacza standardową funkcję rozkładu normalnego, a oznacza wielowymiarową standardową funkcję rozkładu normalnego z macierzą korelacji P. Zatem kopuła Gaussa jest po prostu standardowym wielowymiarowym rozkładem normalnym, w którym do każdego marginesu stosowana jest transformata całkowa prawdopodobieństwa .$\boldsymbol{\Phi}_P$

Algorytm symulacji
W związku z powyższym naturalnym podejściem do symulacji z kopuły Gaussa jest symulacja z wielowymiarowego standardowego rozkładu normalnego z odpowiednią macierzą korelacji i przekształcenie każdego marginesu za pomocą transformaty całkowej prawdopodobieństwa ze standardową funkcją rozkładu normalnego. Podczas symulacji z wielowymiarowego rozkładu normalnego z macierzą kowariancji Σ zasadniczo sprowadza się do wykonania ważonej sumy niezależnych standardowych normalnych zmiennych losowych, gdzie macierz „wagi” A można uzyskać przez rozkład Cholesky'ego macierzy kowariancji Σ .$P$$\Sigma$$A$$\Sigma$

Dlatego algorytmem symulującym próbek z kopuły Gaussa z macierzą korelacji P jest:$n$$P$

1. Wykonaj rozkład Choleskiego i ustaw A jako wynikową niższą macierz trójkątną.$P$$A$
2. Powtórz następujące kroki razy. $n$
   1. Wygeneruj wektor niezależnych standardowych zmiennych normalnych.$Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
   2. Ustaw $X = AZ$
   3. Zwraca .$U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

Poniższy kod w przykładowej implementacji tego algorytmu przy użyciu R:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

Poniższa tabela pokazuje dane wynikające z powyższego kodu R.