Dlaczego lemat Neymana-Pearsona jest lematem, a nie twierdzeniem?

10

To bardziej pytanie historyczne niż techniczne.

Dlaczego `` lemat Neymana-Pearsona '' jest lemą, a nie twierdzeniem?

link do wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : Pytanie nie dotyczy tego, czym jest lemat i jak lematy są wykorzystywane do udowodnienia twierdzenia, ale o historię lematu Neymana-Pearsona. Czy użyto go do udowodnienia twierdzenia, a potem okazało się bardziej przydatne? Czy istnieje jakikolwiek dowód na to, że tak nie było?

Tauto
źródło
6
Terminologia : lemat jest „twierdzeniem pomagającym”, twierdzeniem o niewielkim zastosowaniu, z wyjątkiem tego, że stanowi część dowodu większego twierdzenia. W niektórych przypadkach, gdy względne znaczenie różnych twierdzeń staje się bardziej jasne, to, co kiedyś uważano za lemat, jest teraz uważane za twierdzenie, chociaż słowo „lemat” pozostaje w nazwie.
Carl
2
@Carl Jasne, ale dlaczego lemat Neymana-Pearsona jest lematem, a nie twierdzeniem? czy było twierdzenie? i czy są na to dowody? Jak powiedziałem, jest to pytanie historyczne, a nie techniczne.
Tauto
2
Cóż, lemat NP służy do udowodnienia twierdzenia Karlina-Rubina i że test punktowy Rao jest lokalnie najsilniejszy; wyniki te są być może stosowane szerzej niż sam lemat NP (alternatywa zero-punkt).
Scortchi - Przywróć Monikę

Odpowiedzi:

-2

NB: Ta historycznie pierwsza odpowiedź na pytanie PO. W statystykach lemat Neymana-Pearsona został wprowadzony przez Jerzego Neymana i Egona Pearsona w artykule z 1933 r . Ponadto jest wykorzystywany w praktyce przez statystyków jako twierdzenie , a nie lemat, i nazywa się go lematem głównie z powodu artykułu z 1936 r. IMHO, historyczne traktowanie nie odpowiada na pytanie „dlaczego”, a ten post próbuje to zrobić.

Co za lemat jest w przeciwieństwie do twierdzenia lub następstwem jest skierowane gdzie indziej i tu . Dokładniej, jeśli chodzi o definicję: lemat, pierwsze znaczenie : twierdzenie pomocnicze lub pośrednie w argumencie lub dowodzie. Zgadzam się ze słownikiem Oxford, ale zmieniłbym kolejność słów i zwróciłbym uwagę na dokładny język: twierdzenie pośrednie lub dodatkowe. Niektórzy autorzy błędnie uważają, że lemat musi być pośrednikiem w dowodzie, i tak dzieje się w przypadku wielu lematów nienazwanych. Jednak często, przynajmniej w przypadku nazwanych lematów, wynik lematu jest implikacją wynikającą z już udowodnionego twierdzenia, że ​​lemat jest dodatkowym, tzn. Dodatkowym twierdzeniem. Z Encyklopedii Nowego Świata Rozróżnienie między twierdzeniami i lematami jest raczej arbitralne, ponieważ głównym rezultatem jednego matematyka jest drobne twierdzenie innego. Na przykład lemat Gaussa i lemat Zorna są na tyle interesujące same w sobie, że niektórzy autorzy przedstawiają nominalny lemat bez dalszego używania go jako dowodu jakiegokolwiek twierdzenia. Innym przykładem jest lemat Evansa, który nie wynika z dowodu prostego twierdzenia o geometrii różniczkowej, które ... pokazuje, że pierwsze równanie struktury Cartana jest równością dwóch postulatów tetradowych ... Postulat tetradowy [ sama Sic ] jest źródło lematu Evansa o geometrii różniczkowej. Wikipedia wspomina o ewolucji lemanów w czasie:W niektórych przypadkach, gdy względne znaczenie różnych twierdzeń staje się bardziej jasne, to, co kiedyś uważano za lemat, jest teraz uważane za twierdzenie, chociaż słowo „lemat” pozostaje w nazwie.

Należy jednak pamiętać, że niezależnie od tego, czy lematy są samodzielne, czy też nie. Twierdzenie, które jest lematem, może czasami być odpowiedzią na pytanie: „Co oznacza (powyższe) twierdzenie?” Czasami lematy są odskocznią używaną do ustalenia twierdzenia.

Z lektury artykułu z 1933 r. Jasno wynika: IX. Na temat najskuteczniejszych testów hipotez statystycznych. Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson i Karl Pearson , że badanym twierdzeniem jest twierdzenie Bayesa . Niektórzy czytelnicy tego postu mają trudności z odniesieniem twierdzenia Bayesa do artykułu z 1933 r., Pomimo wprowadzenia, które jest w tym względzie dość wyraźne. Zauważ, że papier z 1933 roku jest zaśmiecony diagramami Venna, diagramy Venna ilustrują prawdopodobieństwo warunkowe , które jest twierdzeniem Bayesa. Niektórzy nazywają to regułą Bayesa, ponieważ przesadą jest odwoływanie się do tej reguły jako do „twierdzenia”. Na przykład, jeśli mielibyśmy nazwać twierdzenie „dodawanie”, w przeciwieństwie do bycia regułą, raczej pomylilibyśmy się niż wyjaśniali.

Dlatego lemat Neymana-Pearsona jest twierdzeniem dotyczącym najskuteczniejszego testowania hipotez bayesowskich, ale obecnie nie jest tak nazywany, ponieważ nie miał na początek.

Carl
źródło
1
Jestem trochę zdezorientowany, co dokładnie tu mówisz. Oczywiście nie jest tak, że lemat NP służy do udowodnienia twierdzenia Bayesa w tym artykule lub w innym miejscu. Więc pytanie „Dlaczego lemat”? pozostaje. Lemat NP jest używany w sekcjach III i IV tego artykułu do wyprowadzania podobnych testów UMP i mógł być słusznie nazwany lemat z tego powodu.
Scortchi - Przywróć Monikę
3
Twoje stwierdzenie „Dlatego lemat Neymana-Pearsona można nazwać twierdzeniem” jest bezzasadne i nie wyjaśnia, dlaczego nazywamy „lemat Neymana-Pearsona” lematem. Co więcej, to, co ma związek z twierdzeniem Bayesa, jest całkowicie niejasne i wydaje się fałszywe. Twoja odpowiedź zasługuje na głosowanie za niejasne i niedorzeczne, ale ponieważ nie podobają ci się te opinie, po prostu stwierdzę, że zasługuje na nie, nie udzielając żadnych.
Sextus Empiricus
2
Lemat jest tylko twierdzeniem (umieszczonym tylko w innym kontekście jako „pomoc” w większym dowodzie). To nie jest pytanie, na które udzielono odpowiedzi w kilku wątkach na stronie matematyki. Wiemy, że lematy mogą zacząć żyć samodzielnie (bez wcześniejszego twierdzenia, że ​​pomogły). Pytanie wyraźnie dotyczy historii tego w odniesieniu do lematu Neymana Pearsona. Franciszek udzielił już na to dobrej odpowiedzi i nie ma potrzeby udzielania innej odpowiedzi. Skrytykowałem twoją odpowiedź, ponieważ jest myląca (z rzeczami dotyczącymi reguły Bayesa) i nie jest pomocna, ani nawet szkodliwa.
Sextus Empiricus
4
Czy masz źródło takiej interpretacji / użycia słowa „lemma”? W przeciwnym razie uważam, że po prostu źle zrozumiałeś, co oznacza „lemat”. Aby pożyczyć język z połączonej odpowiedzi z witryny towarzysza, interpretuję zarówno bieżącą, jak i poprzednie wersje tego pytania, aby oznaczać „Jaki jest bardziej znaczący wynik, dla którego lemat Neymana-Pearsiona był faktem„ pomocnika ””.
Juho Kokkala,
2
„To przesada, ponieważ nie musi to być„ kolejny ”.” Skąd się bierze to twierdzenie? To (nie będąc pierwotnie częścią dowodu na „inne” twierdzenie) nie jest tym, w jaki sposób matematycy używają terminu lemat. Jest bardzo podobny do zastosowania w logice A -> B -> C, a pytanie dotyczy tego, co jest C w przypadku lematu B będącego lematem Neymana Pearsona (zdecydowanie nie jest to reguła / twierdzenie Bayesa).
Sextus Empiricus
9

Klasyczna wersja pojawia się w 1933 r., Ale jak najwcześniej można ją nazwać „lematem”, prawdopodobnie w artykule Neymana i Pearsona z 1936 r. Wkład w teorię testowania hipotez statystycznych (str. 1-37 Wspomnień z badań statystycznych, tom I) . Lemat i twierdzenie, na podstawie których został udowodniony, zostały sformułowane w następujący sposób: wprowadź opis zdjęcia tutaj

m=1 . Sam lemat był następnie badany przez kilka wielkich nazwisk z tamtej epoki (np. PL Hsu, Dantzig, Wald, Chernoff, Scheffé), a zatem nazwa „lemat Neymana i Pearsona” utknęła.

Oto lista odpowiednich artykułów / książek, jeśli ktoś interesuje się historią lematu Neymana-Pearsona:

  • The Neyman – Pearson Story: 1926-34 , ES Pearson, in Research Papers in Statistics: Festschrift for J. Neyman .
  • Wprowadzenie do Neymana i Pearsona (1933) na temat problemu najbardziej wydajnych testów hipotez statystycznych , EL Lehmann, w Przełomach w statystyce: podstawy i podstawowa teoria .
  • Neyman-From Life , C. Reid.
Francis
źródło
Tak, ale lemat Neymana-Pearsona pasuje do definicji lematu w 1933 r., Tj. Był to w tamtym czasie lemat, dlatego też nazywano go lemat.
Carl
1
@Carl, o co ci chodzi, używając słowa „ale”. Czy coś jest nie tak z tą odpowiedzią?
Sextus Empiricus
1
@MartijnWeterings: Możesz wyszukać ten termin w Google Scholar i ograniczyć zakres dat. Wydaje się, że najwcześniejsze użycie pochodzi z PL Hsu. Przytaczała ją nota z wykładem Walda z 1940 r.
Francis
2
@Carl, przegapiłeś następującą część? Uwaga : Pytanie nie dotyczy tego, czym jest lemat i jak lematy są wykorzystywane do udowodnienia twierdzenia, ale historii lematu Neymana-Pearsona”. Chodzi o historię . Pytanie dotyczy kontekstu, w jaki sposób twierdzenie to nazwano lematem. Nie dlatego, dlaczego twierdzenie (a ściślej to twierdzenie) można nazwać lematem.
Sextus Empiricus
2
@Carl, ta odpowiedź ładnie wyjaśnia, w jaki sposób spełniła się ta rola, i zawiera historię, jak ludzie oglądali tę rolę.
Sextus Empiricus