Jak obliczyć, czy moja regresja liniowa ma statystycznie istotną różnicę od znanej linii teoretycznej?

Mam pewne dane, które pasują do z grubsza liniowej linii:

Kiedy wykonuję regresję liniową tych wartości, otrzymuję równanie liniowe:

W idealnym świecie równanie powinno wynosić .$y = x$

Oczywiście moje wartości liniowe są zbliżone do tego ideału, ale nie do końca. Moje pytanie brzmi: jak mogę ustalić, czy ten wynik jest statystycznie istotny?

Czy wartość 0,997 znacznie różni się od 1? Czy -0,01 znacznie różni się od 0? Czy też są statystycznie takie same i mogę stwierdzić, że przy pewnym rozsądnym poziomie ufności?$y=x$

Jakiego testu statystycznego mogę użyć?

Dzięki

Ten typ sytuacji można rozwiązać za pomocą standardowego testu F dla modeli zagnieżdżonych . Ponieważ chcesz przetestować oba parametry na modelu zerowym ze stałymi parametrami, twoje hipotezy są następujące:

Test F obejmuje dopasowanie obu modeli i porównanie ich rezydualnej sumy kwadratów, które są:

Statystyka testu to:

Odpowiednia wartość p wynosi:

Implementacja w R: Załóżmy, że twoje dane są w ramce danych wywoływanej DATAzmiennymi o nazwie yi x. Test F można wykonać ręcznie za pomocą następującego kodu. W symulowanych próbnych danych, które wykorzystałem, możesz zobaczyć, że szacowane współczynniki są zbliżone do tych w hipotezie zerowej, a wartość p testu nie wykazuje istotnych dowodów na fałszowanie hipotezy zerowej, że prawdziwą funkcją regresji jest funkcja tożsamości.

#Generate mock data (you can substitute your data if you prefer)
set.seed(12345);
n    <- 1000;
x    <- rnorm(n, mean = 0, sd = 5);
e    <- rnorm(n, mean = 0, sd = 2/sqrt(1+abs(x)));
y    <- x + e;
DATA <- data.frame(y = y, x = x);

#Fit initial regression model
MODEL <- lm(y ~ x, data = DATA);

#Calculate test statistic
SSE0   <- sum((DATA$y-DATA$x)^2);
SSEA   <- sum(MODEL$residuals^2);
F_STAT <- ((n-2)/2)*((SSE0 - SSEA)/SSEA);
P_VAL  <- pf(q = F_STAT, df1 = 2, df2 = n-2, lower.tail = FALSE);

#Plot the data and show test outcome
plot(DATA$x, DATA$y,
     main = 'All Residuals',
     sub  = paste0('(Test against identity function - F-Stat = ',
            sprintf("%.4f", F_STAT), ', p-value = ', sprintf("%.4f", P_VAL), ')'),
     xlab = 'Dataset #1 Normalized residuals',
     ylab = 'Dataset #2 Normalized residuals');
abline(lm(y ~ x, DATA), col = 'red', lty = 2, lwd = 2);

Dane summarywyjściowe i plotdla tych danych wyglądają następująco:

summary(MODEL);

Call:
lm(formula = y ~ x, data = DATA)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.8276 -0.6742  0.0043  0.6703  5.1462 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.02784    0.03552  -0.784    0.433    
x            1.00507    0.00711 141.370   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.122 on 998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9524,    Adjusted R-squared:  0.9524 
F-statistic: 1.999e+04 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

F_STAT;
[1] 0.5370824

P_VAL;
[1] 0.5846198

Oto fajna metoda graficzna, którą przytoczyłem z doskonałej książki Juliana Faraway'a „Modele liniowe z R (wydanie drugie)”. To równoczesne 95% przedziały ufności dla punktu przecięcia i nachylenia, wykreślone jako elipsa.

Dla ilustracji stworzyłem 500 obserwacji ze zmienną „x” o rozkładzie N (średnia = 10, sd = 5), a następnie zmienną „y”, której rozkład wynosi N (średnia = x, sd = 2). Daje to korelację nieco powyżej 0,9, która może nie być tak ścisła jak twoje dane.

Możesz sprawdzić elipsę, aby zobaczyć, czy punkt (punkt przecięcia = 0, nachylenie = 1) mieści się w tym lub przed tym przedziałem ufności.

library(tidyverse)
library(ellipse)
#> 
#> Attaching package: 'ellipse'
#> The following object is masked from 'package:graphics':
#> 
#>     pairs

set.seed(50)
dat <- data.frame(x=rnorm(500,10,5)) %>% mutate(y=rnorm(n(),x,2))

lmod1 <- lm(y~x,data=dat)
summary(lmod1)
#> 
#> Call:
#> lm(formula = y ~ x, data = dat)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#> -6.9652 -1.1796 -0.0576  1.2802  6.0212 
#> 
#> Coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)  0.24171    0.20074   1.204    0.229    
#> x            0.97753    0.01802  54.246   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 2.057 on 498 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.8553, Adjusted R-squared:  0.855 
#> F-statistic:  2943 on 1 and 498 DF,  p-value: < 2.2e-16

cor(dat$y,dat$x)
#> [1] 0.9248032

plot(y~x,dat)
abline(0,1)

confint(lmod1)
#>                  2.5 %    97.5 %
#> (Intercept) -0.1526848 0.6361047
#> x            0.9421270 1.0129370

plot(ellipse(lmod1,c("(Intercept)","x")),type="l")
points(coef(lmod1)["(Intercept)"],coef(lmod1)["x"],pch=19)

abline(v=confint(lmod1)["(Intercept)",],lty=2)
abline(h=confint(lmod1)["x",],lty=2)

points(0,1,pch=1,size=3)
#> Warning in plot.xy(xy.coords(x, y), type = type, ...): "size" is not a
#> graphical parameter

abline(v=0,lty=10)
abline(h=0,lty=10)

^{Utworzono 21.01.2019 przez pakiet reprezentx (v0.2.1)}

Można obliczyć współczynniki za pomocą n próbek próbnych. Spowoduje to prawdopodobnie uzyskanie normalnych wartości współczynników rozkładu (centralne twierdzenie graniczne). Dzięki temu możesz następnie skonstruować (np. 95%) przedział ufności z wartościami t (n-1 stopni swobody) wokół średniej. Jeśli twój CI nie zawiera 1 (0), jest statystycznie istotny różny, a dokładniej: Możesz odrzucić hipotezę zerową o równym nachyleniu.

$\beta_0=0$$\beta_1=1$

Powinieneś dopasować regresję liniową i sprawdzić 95% przedziały ufności dla dwóch parametrów. Jeżeli CI nachylenia obejmuje 1, a CI przesunięcia obejmuje 0, to dwustronny test jest nieznaczny w przybliżeniu. na poziomie (95%) ^ 2 - ponieważ stosujemy dwa osobne testy, ryzyko typ-I wzrasta.

Za pomocą R:

fit = lm(Y ~ X)
confint(fit)

lub używasz

summary(fit)

i samodzielnie oblicz 2 przedziały sigma.