Prawdopodobieństwo

9

Załóżmy, że i są niezależnymi losowymi zmiennymi geometrycznymi o parametrze . Jakie jest prawdopodobieństwo, że ?X1X2pX1X2

Jestem zdezorientowany tym pytaniem, ponieważ nie powiedziano nam nic o i poza tym, że są geometryczne. Czy nie byłoby to ponieważ i mogą być czymkolwiek w tym zakresie?X1X250%X1X2

EDYCJA: Nowa próba

P(X1X2)=P(X1>X2)+P(X1=X2)

P(X1=X2) = =x (1p)x1p(1p)x1pp2p

P(X1>X2) = iP(X1<X2)P(X1<X2)+P(X1>X2)+P(X1=X2)=1

Dlatego = = Dodawanie do tego, dostaję =P(X1>X2)1P(X1=X2)21p2p
P(X1=X2)=p2pP(X1X2)12p

Czy to jest poprawne?

IrCa
źródło
3
Dodaj tag „samokształcenie”.
StubbornAtom
1
Właściwie bo X1i X2są zmienne dyskretne równość sprawia, że rzeczy nieco mniej oczywiste.
usεr11852

Odpowiedzi:

13

Nie może być ponieważ50%P(X1=X2)>0

Jedno podejście:

Rozważ trzy zdarzenia i , które dzielą przestrzeń próbki.P(X1>X2),P(X2>X1)P(X1=X2)

Istnieje oczywisty związek między pierwszymi dwoma. Napisz wyrażenie dla trzeciego i uprość. Stąd rozwiąż pytanie.

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
Zredagowałem, mój post z nową odpowiedzią. Czy możesz rzucić okiem i sprawdzić, czy to prawda?
IrCa
1
Tak, twoje odpowiedzi wyglądają poprawnie. Alternatywną metodą (przy użyciu podobnego pomysłu) byłoby zwrócenie uwagi, że (ponownie, wykorzystując symetrię / wymienność i ). P(X1X2)=12+12P(X1=X2)X1X2
Glen_b
6

Twoja odpowiedź, zgodnie z sugestią Glen, jest poprawna. Innym, mniej eleganckim sposobem jest po prostu warunek:

Pr{X1X2}=k=0Pr{X1X2X2=k}Pr{X2=k}=k=0=kPr{X1=}Pr{X2=k}.

Otrzymasz taki sam , po obsłudze dwóch serii geometrycznych. Droga Glen jest lepsza.1/(2p)

Zen
źródło
4
Uwaga - myślę, że Twoja droga jest lepsza w przypadku nowych problemów. Ponieważ opiera się na pierwszych zasadach. Trick / intuiton z odpowiedzi glen_b zwykle pojawia się po rozwiązaniu problemu na swój sposób
probabilityislogic
3
@probabilityislogic Podzielam twój entuzjazm dla pochodnych z „pierwszych zasad”. Jednak dla współczesnego matematyka poszukiwanie i wykorzystywanie symetrii jest jeszcze bardziej fundamentalne niż pierwsze zasady (definicje), do których się odwołujesz: możemy to nazwać metaprincypą matematyki. To znacznie więcej niż zwykła „sztuczka”.
whuber