Dlaczego dane powinny być ponownie próbkowane w ramach hipotezy zerowej w testach hipotezy bootstrap?

Prosta aplikacja metody bootstrap do testowania hipotez jest oszacować przedział ufności testu statystycznego θ poprzez wielokrotne obliczenia go na bootstrapped próbek (Let statystyka θ próbki z bootstrap nazwać ^ θ * ). Odrzucamy H 0, jeśli hipotetyczny parametr θ 0 (który zwykle jest równy 0) leży poza przedziałem ufności ^ θ ∗ .$\hat{\theta}$$\hat{\theta}$$\hat{\theta^*}$$H_0$$\theta_0$$\hat{\theta^*}$

Czytałem, że ta metoda nie ma pewnej mocy. W artykule Hall P. Wilson SR „dwie wytyczne dla Bootstrap testowanie hipotez” (1992) jest napisane jako pierwszy wytycznych, które należy przeprowadzić ponowne próbkowanie , a nie ^ θ * - θ 0 . I tej części nie rozumiem.$\hat{\theta^*} - \hat{\theta}$$\hat{\theta^*} - \theta_0$

Czy to nie jest środki tylko stronniczość estymatora ^ θ * ? Dla estymatorów nieobciążonych przedziały ufności tej wypowiedzi powinny zawsze być mniejsza niż ^ θ * - θ 0 , ale nie widzę, co to ma do czynienia z testowaniem dla θ = θ 0 ? Nigdzie nie widzę, żebyśmy umieścili informacje o θ 0 .$\hat{\theta^*} - \hat{\theta}$$\hat{\theta^*}$$\hat{\theta^*} - \theta_0$$\hat{\theta}=\theta_0$$\theta_0$

Dla tych z was, którzy nie mają dostępu do tego artykułu, jest to cytat odpowiedniego akapitu, który pojawia się bezpośrednio po pracy:

Aby zrozumieć, dlaczego jest to ważne, należy zauważyć, że test będzie polegał na odrzuceniu jeśli w | Θ - θ 0 | jest za duży." Jeśli θ 0 jest daleka od prawdziwej wartości θ (tj. Jeśli H 0 jest rażąco błędem), to różnica | Θ - θ 0 | nigdy nie będzie wyglądał na zbyt duży w porównaniu z nieparametrycznym rozkładem bootstrapu | Θ - θ 0 | . Bardziej znaczące jest porównanie z rozkładem$H_0$$\left| \hat{\theta} - \theta_0\right|$$\theta_0$$\theta$$H_0$$\left|\hat{\theta} - \theta_0 \right|$$\left| \hat{\theta} - \theta_0\right|$. W rzeczywistości, jeśli prawdziwa wartośćθwynosi θ 1, to moc testu ładowania początkowego wzrasta do 1 jako | θ 1 - θ 0 | wzrasta, pod warunkiem że test oparty jest na ponownym próbkowaniu | ^ Θ * - θ | , ale moc zmniejsza się co najwyżej do poziomu istotności (wraz zewzrostem | θ 1 - θ 0 | ), jeśli test opiera się na ponownym próbkowaniu | θ$\left| \hat{\theta^*} - \hat{\theta}\right|$$\theta$$\theta_1$$\left|\theta_1 - \theta_0\right|$$\left| \hat{\theta^*} - \hat{\theta}\right|$$\left|\theta_1 - \theta_0\right|$$\left|\hat{\theta} - \theta_0\right|$

Jest to zasada analogii do bootstrapu. (Nieznanej) bazowego prawdziwego rozkładu otrzymano próbkę pod ręką x 1 , ... , x n z ED F n , co z kolei wytworzonego statystyczną θ = T ( M n ) dla pewnego funkcjonalnego T ( ⋅ ) . Twoim pomysłem użycia bootstrap jest wypowiadanie się na temat rozkładu próbkowania na podstawie znanego rozkładu ˜ $F$$x_1, \ldots, x_n$$F_n$$\hat\theta=T(F_n)$$T(\cdot)$$\tilde F$, w którym próbujesz użyć identycznego protokołu próbkowania (co jest dokładnie możliwe tylko dla danych identyfikacyjnych; dane zależne zawsze prowadzą do ograniczeń w dokładności odtworzenia procesu próbkowania) i stosują tę samą funkcjonalną . Zademonstrowałem to w innym poście z (moim zdaniem) zgrabnym diagramem. Więc analogowego z bootstrap (próbkowania) + systematyczne odchylenia θ - θ 0 , ilość swoim centrum zainteresowania, to odchylenie od bootstrap kopią θ * od tego, co jest znane jako prawdziwe w odniesieniu do dystrybucji ~ F , pobierania próbek zastosowany proces oraz funkcjonalność$T(\cdot)$$\hat\theta - \theta_0$$\hat\theta^*$$\tilde F$ , tzn. Miarą tendencji centralnej jest T ( ˜ F ) . Jeśli użyto standardowego nieparametrycznej bootstrap z wymianą z oryginalnych danych, twój ~ F = F n , więc miarą tendencji centralnej musi być T ( F n ) ≡ θ na podstawie oryginalnych danych.$T(\cdot)$$T(\tilde F)$$\tilde F=F_n$$T(F_n) \equiv \hat \theta$

Oprócz tłumaczenia, przy testach bootstrap pojawiają się subtelniejsze problemy, które czasami są trudne do przezwyciężenia. Rozkład statystyki testowej poniżej wartości zerowej może drastycznie różnić się od rozkładu statystyki testowej w ramach alternatywy (np. W testach na granicy przestrzeni parametrów, które zawodzą przy ładowaniu ). Proste testy, których uczysz się na zajęciach licencjackich, takich jak test, są niezmienne w trakcie zmiany, ale myślenie: „Heck, właśnie zmieniam wszystko” kończy się niepowodzeniem, gdy musisz przejść na kolejny poziom złożoności konceptualnej, testy asymptotyczne χ 2 . Pomyśl o tym: testujesz, że μ = 0 , a zaobserwowane ˉ x$t$$\chi^2$$\mu=0$ . Następnie, gdy konstruujesztest χ 2 ( ˉ x - μ ) 2 / ( s 2 / n ) ≡ ˉ x 2 $\bar x=0.78$$\chi^2$ z analogiem ładowania początkowego ˉ x 2 ∗ / ( s 2 ∗ / n ) , wtedy ten test ma wbudowaną niecentralność n ˉ x 2 / s $(\bar x-\mu)^2/(s^2/n) \equiv \bar x^2/(s^2/n)$$\bar x_*^2/(s_*^2/n)$$n \bar x^2/s^2$od samego początku, zamiast być centralnym testem, jak się spodziewalibyśmy. Aby ustawić test ładowania początkowego jako centralny, naprawdę musisz odjąć pierwotne oszacowanie.

W testy są nieuniknione w kontekście wielowymiarowych, począwszy od Pearson × 2 stoły awaryjnych Bollen-Stine bootstrap statystyki badania w modelach równań strukturalnych. Pojęcie przesunięcia rozkładu jest niezwykle trudne do zdefiniowania w takich sytuacjach ... chociaż w przypadku testów na wielowymiarowych macierzach kowariancji jest to możliwe dzięki odpowiedniej rotacji .$\chi^2$$\chi^2$

OK, rozumiem Dziękuję, StasK, za tak dobrą odpowiedź. Będę akceptować, aby inni się uczyli, ale w moim konkretnym przypadku brakowało mi bardzo prostego faktu:

Procedura bootstrap zgodnie z wytycznymi Hall & Wilson dla prostego testu z pojedynczą próbką jest następująca (w pseudo-kodzie inspirowanym R):

1function(data, θ ← θ 0 ← 0 ← ^ θ *$\theta_0$ ) {
2 $\hat{\theta} \leftarrow$ t.test(data, mu = $\theta_0$ )$statistic
3 count $\leftarrow 0$
4for(i in 1:1000){
5 bdata $\leftarrow$ sample(data)
6 $\hat{\theta^*} \leftarrow$ t.test(bdata, mu = $\hat{\theta}$ )$statistic
7 if ( $\hat{\theta^*} \le \hat{\theta}$ ) count++
8 }
9 count/1000
10 }

$\theta_0$2$\hat{\theta}$

26p.valuestatistic$\le$$\ge$7