Var (X) jest znany, jak obliczyć Var (1 / X)?

Jeśli mam tylko , jak mogę obliczyć \ mathrm {Var} (\ frac {1} {X}) ?$\mathrm{Var}(X)$$\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

Nie mam żadnych informacji na temat dystrybucji $X$ , więc nie można użyć transformacji, albo jakiekolwiek inne metody, które wykorzystują rozkład prawdopodobieństwa $X$ .

To jest niemożliwe.

Rozważ sekwencję $X_n$ zmiennych losowych, gdzie

$$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$$

Następnie:

$$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$$

Ale zbliża się do zera, gdy przechodzi w nieskończoność:$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$$n$

$$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$$

W tym przykładzie wykorzystano fakt, że jest niezmienny w tłumaczeniach , ale nie jest.X V a r ( $\Var(X)$$X$$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Ale nawet jeśli przyjmiemy , nie możemy obliczyć : NiechV a r ( $\mathrm{E}(X)=0$$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

$$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

i

$$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$$

Następnie zbliża się do 1, gdy idzie w nieskończoność, ale dla wszystkich .n V a r ( $\Var(X_n)$$n$$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$$n$

Za pomocą serii Taylora można uzyskać przybliżenie momentów niskiego rzędu transformowanej zmiennej losowej. Jeśli rozkład jest dość „ciasny” wokół średniej (w pewnym sensie), przybliżenie może być całkiem dobre.

Na przykład

$$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$$

więc

$$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$$

często brany jest tylko pierwszy semestr

$$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$$

W tym przypadku (zakładając, że się nie pomyliłem), z , .$g(X)=\frac{1}{X}$$\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: Rozszerzenia Taylora dla momentów funkcji zmiennych losowych

---

Kilka przykładów ilustrujących to. Wygeneruję dwie (rozproszone w gamie) próbki w R, jedną z „niezbyt ciasnym” rozkładem względem średniej, a drugą nieco ściślejszą.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

Przybliżenie sugeruje, że wariancja powinna być bliska$1/a$$(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Według obliczeń algebraicznych rzeczywista wariancja populacji wynosi$1/648 \approx 0.00154$

Teraz dla ciasniejszego:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

Przybliżenie sugeruje, że wariancja powinna być bliska$1/a$$(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Obliczenia algebraiczne pokazują, że wariancja populacji odwrotności wynosi .$\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$