Czy istnieją asymptotyki trzeciego rzędu?

14

Większość asymptotycznych wyników w statystykach dowodzi, że gdy estymator (taki jak MLE) jest zbieżny do rozkładu normalnego opartego na rozszerzeniu Taylora rzędu drugiego funkcji prawdopodobieństwa. Uważam, że w literaturze bayesowskiej istnieje podobny wynik, „Bayesowskie centralne twierdzenie graniczne”, które pokazuje, że a posterior zbiega się asymptotycznie do normalnej jakonn

Moje pytanie brzmi - czy rozkład zbiega się w coś „zanim” stanie się normalny, na podstawie trzeciego terminu z serii Taylor? Czy też nie jest to w ogóle możliwe?

Gabgoh
źródło
(+1) .. dobre pytanie. Bayesowskie centralne twierdzenie graniczne nazywa się aproksymacją Laplace'a, tj. Tylne zachowuje się „mniej więcej” jak rozkład normalny. (formalnie tylny zbiega się w rozkładzie do rozkładu normalnego)
suncoolsu
Powiązane: stats.stackexchange.com/questions/191492/...
kjetil b halvorsen

Odpowiedzi:

5

n

nnn1/2mthmth(n1/2)m=nm/2nmthn/nm/2=n(m2)/21/n1/21/n, i tak dalej. Są to warunki wyższego rzędu. (Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz na przykład ten artykuł Yuval Filmus .)

nnnn1/n1/21/ntermin jest dodaną do tego mniejszą, szybciej zanikającą korektą i tak dalej. W skrócie, dodatkowe warunki dają obraz tego, jak szybko sekwencja zbliża się do granicy.

n1/n1/2

Whuber
źródło
z jakiegoś powodu nie wydaje mi się, żeby twoja odpowiedź była całkowicie przekonująca. Zgadzam się, że rozkład musi być „rozciągnięty” i że niepoprawne jest twierdzenie, że zbiega się do X, zanim osiągnie normalność. To byłby błąd z mojej strony. Nadal uważam, że powinien istnieć sposób na skalowanie rozkładu tak, aby tylko czwarty rząd i powyżej „momentów” zmierzały w kierunku zera. Muszę się trochę zastanowić, jak dokładnie wyglądałaby ta rzecz skalująca, gdyby coś takiego istniało
gabgoh
2
@ gabgoh Chciałbym dowiedzieć się więcej o tym, który aspekt (y) odpowiedzi jest słaby. Jeśli chodzi o skalowanie, utknąłeś: wykorzystałeś już tę możliwość w standaryzacji elementów sekwencji. Jeśli (hipotetycznie) jakaś forma skalowania powstrzyma trzecie chwile od zera, to zaprzeczysz CLT, ponieważ rozkład ograniczający nie byłby Normalny. Istnieje powiązany problem z asymptotykami estymatorów. Często można dostosować estymator, aby zabijać wyższe momenty asymptotycznie (np. Przy ładowaniu początkowym): ale nadal nie można tego zrobić przez samo skalowanie.
whuber
3

Oto próba odpowiedzi na wnikliwe pytanie. Widziałem włączenie trzeciego terminu szeregu Taylora w celu zwiększenia szybkości zbieżności szeregu do rozkładu rzeczywistego. Jednak nie widziałem (z mojego ograniczonego doświadczenia) użycia trzeciego i wyższych momentów.

n1/2n1/2n

Dlatego myślę, że odpowiedź na twoje pytanie powinna brzmieć „ nie” . Rozkład asymptotyczny zbiega się z rozkładem normalnym (według CLT, w warunkach regularności CLT Lindberga). Jednak stosowanie terminów wyższych rzędów może zwiększyć szybkość konwergencji do rozkładu asymptotycznego.

suncoolsu
źródło