Czy Wolfram Mathworld popełnia błąd opisując dyskretny rozkład prawdopodobieństwa z funkcją gęstości prawdopodobieństwa?

Zwykle rozkład prawdopodobieństwa między zmiennymi dyskretnymi opisuje się za pomocą funkcji masy prawdopodobieństwa (PMF):

Pracując z ciągłymi zmiennymi losowymi, opisujemy rozkłady prawdopodobieństwa za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF) zamiast funkcji masy prawdopodobieństwa.

- Dogłębne uczenie się przez Goodfellow, Bengio i Courville

Jednak Wolfram Mathworld używa PDF do opisania rozkładu prawdopodobieństwa dla zmiennych dyskretnych:

Czy to pomyłka? czy to nie ma większego znaczenia?

Nie jest to pomyłka: w formalnym traktowaniu prawdopodobieństwa za pomocą teorii miary funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest pochodną interesującej miary prawdopodobieństwa, przyjętej w odniesieniu do „miary dominującej” (zwanej również „miarą odniesienia”). Dla rozkładów dyskretnych w liczbach całkowitych funkcja masy prawdopodobieństwa jest funkcją gęstości w odniesieniu do miary zliczania . Ponieważ funkcja masy prawdopodobieństwa jest szczególnym rodzajem funkcji gęstości prawdopodobieństwa, czasami można znaleźć takie odniesienia, które odnoszą się do niej jako do funkcji gęstości, i nie jest błędem, że odnoszą się do niej w ten sposób.

W zwykłym dyskursie na temat prawdopodobieństwa i statystyki często unika się tej terminologii i rozróżnia „funkcje masowe” (dla dyskretnych zmiennych losowych) i „funkcje gęstości” (dla ciągłych zmiennych losowych), aby rozróżnić rozkłady dyskretne i ciągłe. W innych kontekstach, gdy mówi się o holistycznych aspektach prawdopodobieństwa, często lepiej jest zignorować to rozróżnienie i nazywać je „funkcjami gęstości”.

Oprócz bardziej teoretycznej odpowiedzi w zakresie teorii miar wygodnie jest również nie rozróżniać programów pmfs i pdf w programowaniu statystycznym. Na przykład R ma wiele wbudowanych dystrybucji. Dla każdej dystrybucji ma 4 funkcje. Na przykład w przypadku normalnej dystrybucji (z pliku pomocy):

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

Użytkownicy R szybko przyzwyczajają się do d,p,q,rprefiksów. Byłoby denerwujące, gdybyś musiał zrobić coś takiego jak upuszczenie di użycie mnp. Do rozkładu dwumianowego. Zamiast tego wszystko jest zgodne z oczekiwaniami użytkownika R.

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.