Bezstronny estymator wykładniczej miary zbioru?

Załóżmy, że mamy (mierzalny i odpowiednio zachowujący się) zestaw , gdzie jest zwarty. Co więcej, załóżmy, że możemy pobrać próbki z równomiernego rozkładu na względem miary Lebesgue'a i że znamy miarę . Na przykład może być polem zawierającym$S\subseteq B\subset\mathbb R^n$$B$$B$$\lambda(\cdot)$$\lambda(B)$$B$$[-c,c]^n$$S$ .

Czy dla stałego $\alpha\in\mathbb R$ istnieje prosty bezstronny sposób oszacowania $e^{-\alpha \lambda(S)}$ poprzez równomierne próbkowanie punktów w $B$ i sprawdzenie, czy znajdują się one wewnątrz czy na zewnątrz $S$ ?

Jako przykład czegoś, co nie do końca działa, załóżmy, że próbkujemy $k$ punktów $p_1,\ldots,p_k\sim\textrm{Uniform}(B)$ . Następnie można użyć do oszacowania Monte Carlo

$$\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{\#\{p_i\in S\}}{k}\lambda(B).$$ Ale, podczas gdy λ jest nieobciążonym estymatoremÎ(S), nie sądzę, że to przypadek, żee-a- λ jest nieobciążonym estymatoreme-a-λ(S). Czy istnieje sposób zmodyfikowania tego algorytmu?$\hat\lambda$$\lambda(S)$$e^{-\alpha\hat\lambda}$$e^{-\alpha\lambda(S)}$

Załóżmy, że masz do dyspozycji następujące zasoby:

1. Masz dostęp do estymatora Î .$\hat{\lambda}$
2. $\hat{\lambda}$ jest nienaprężona w$\lambda ( S )$.
3. $\hat{\lambda}$ jest prawie na pewno ograniczony powyżej$C$.
4. Znasz stałą $C$ i
5. Można tworzyć niezależne realizacje Î tyle razy, ile chcesz.$\hat{\lambda}$

Teraz zauważ, że dla dowolnego $u > 0$ następujące wstrzymania (przez rozszerzenie Taylora o $\exp x$ ):

$$\begin{align} e^{-\alpha \lambda ( S ) } &= e^{-\alpha C} \cdot e^{\alpha \left( C - \lambda ( S ) \right)} \\ &= e^{- \alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{- \alpha C} \cdot e^u \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ e^{-u} \cdot \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \end{align}$$

Teraz wykonaj następujące czynności:

1. Próbka $K \sim \text{Poisson} ( u )$ .
2. Forma X 1 , ⋯ , λ K jak IID nieobciążonych estymatorów Î ( S ) .$\hat{\lambda}_1, \cdots, \hat{\lambda}_K$$\lambda(S)$
3. Zwróć estymator

$$\hat{\Lambda} = e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \cdot \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\}.$$

$\hat{\Lambda}$ następnie nieujemną, nieobciążonym estymatorem$\lambda(S)$. To dlatego, że

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \mathbf{E} \left[ \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\} | K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \mathbf{E} \left[ C - \hat{\lambda}_i \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \left[ C - \lambda ( S ) \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \end{align}$$

a zatem

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} \right] &= \mathbf{E}_K \left[ \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] \right] \\ &= \mathbf{E}_K \left[ e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \mathbf{P} ( K = k ) \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \\ &= e^{-\alpha \lambda ( S ) } \end{align}$$

według wcześniejszych obliczeń.

Odpowiedź jest przecząca.

$X$$S.$$(n,\lambda(S)/\lambda(B))$$p=\lambda(S)/\lambda(B)$$\alpha^\prime = \alpha\lambda(B).$

$n,$$t_n$$\exp(-\alpha \lambda(S)) = \exp(-(\alpha\lambda(B)) p) = \exp(-\alpha^\prime p).$

$$E[t_n(X)] = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\, t_n(x),$$

$n$$p.$$\alpha^\prime p \ne 0,$$\exp(-\alpha^\prime p)$$p.$$n+1$$p,$

$p.$

W związku z tym nie istnieje obiektywny estymator.