Bezstronny estymator wykładniczej miary zbioru?

12

Załóżmy, że mamy (mierzalny i odpowiednio zachowujący się) zestaw , gdzie jest zwarty. Co więcej, załóżmy, że możemy pobrać próbki z równomiernego rozkładu na względem miary Lebesgue'a i że znamy miarę . Na przykład może być polem zawierającymSBRnBBλ()λ(B)B[c,c]nS .

Czy dla stałego αR istnieje prosty bezstronny sposób oszacowania eαλ(S) poprzez równomierne próbkowanie punktów w B i sprawdzenie, czy znajdują się one wewnątrz czy na zewnątrz S ?

Jako przykład czegoś, co nie do końca działa, załóżmy, że próbkujemy k punktów p1,,pkUniform(B) . Następnie można użyć do oszacowania Monte Carlo

λ(S)λ^:=#{piS}kλ(B).
Ale, podczas gdy λ jest nieobciążonym estymatoremÎ(S), nie sądzę, że to przypadek, żee-a- λ jest nieobciążonym estymatoreme-a-λ(S). Czy istnieje sposób zmodyfikowania tego algorytmu?λ^λ(S)eαλ^eαλ(S)

Justin Solomon
źródło

Odpowiedzi:

11

Załóżmy, że masz do dyspozycji następujące zasoby:

  1. Masz dostęp do estymatora Î .λ^
  2. λ^ jest nienaprężona wλ(S).
  3. λ^ jest prawie na pewno ograniczony powyżejC.
  4. Znasz stałą C i
  5. Można tworzyć niezależne realizacje Î tyle razy, ile chcesz.λ^

Teraz zauważ, że dla dowolnego u>0 następujące wstrzymania (przez rozszerzenie Taylora o expx ):

eαλ(S)=eαCeα(Cλ(S))=eαCk0(α[Cλ(S)])kk!=eαCeuk0eu(α[Cλ(S)])kk!=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k

Teraz wykonaj następujące czynności:

  1. Próbka KPoisson(u) .
  2. Forma X 1 , , λ K jak IID nieobciążonych estymatorów Î ( S ) .λ^1,,λ^Kλ(S)
  3. Zwróć estymator

Λ^=euαC(αu)Ki=1K{Cλ^i}.

Λ^ następnie nieujemną, nieobciążonym estymatoremλ(S). To dlatego, że

E[Λ^|K]=euαC(αu)KE[i=1K{Cλ^i}|K]=euαC(αu)Ki=1KE[Cλ^i]=euαC(αu)Ki=1K[Cλ(S)]=euαC(αu)K[Cλ(S)]K

a zatem

E[Λ^]=EK[E[Λ^|K]]=EK[euαC(αu)K[Cλ(S)]K]=euαCk0P(K=k)(αu)K[Cλ(S)]K=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k=eαλ(S)

według wcześniejszych obliczeń.

πr8
źródło
λ^λ(B)<
1
λ(B)5Λ^
Czy na pewno możesz wymienić produkt i oczekiwania w drugiej linii dowodu bezstronności?
jbowman
2
Wygląda na to, że jest w porządku, ponieważ są obliczone, prawda?
Justin Solomon
2
+1 Myślę, że to ciekawy i pouczający przykład. Udaje się, nie zakładając domyślnie mojej odpowiedzi: wielkość próby jest albo określona, ​​albo przynajmniej ograniczona.
whuber
10

Odpowiedź jest przecząca.

XS.(n,λ(S)/λ(B))p=λ(S)/λ(B)α=αλ(B).

n,tnexp(αλ(S))=exp((αλ(B))p)=exp(αp).

E[tn(X)]=x=0n(nx)px(1p)nxtn(x),

np.αp0,exp(αp)p.n+1p,

p.

W związku z tym nie istnieje obiektywny estymator.

Whuber
źródło
1
exp(t)
αp0α.
SB
4
BTW Naprawdę doceniam twoje przemyślenia na temat innej odpowiedzi na to pytanie!
Justin Solomon