Rozkłady inne niż normalne, w których średnia i wariancja są niezależne

Zastanawiałem się, czy są jakieś rozkłady poza normą, w których średnia i wariancja są od siebie niezależne (lub innymi słowy, gdzie wariancja nie jest funkcją średniej).

distributions Wolfgang
źródło

Nie jestem pewien, czy dobrze rozumiem pytanie. Czy pytasz, czy istnieją jakieś rozkłady oprócz normalnej, które są całkowicie określone przez średnią i wariancję? W pewnym sensie wariancja jest funkcją środka, ponieważ jest miarą rozproszenia wokół środka, ale myślę, że nie o to ci chodzi.

masz na myśli średnią próbki

i wariancja próbki

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

są niezależne. Dobre pytanie ! może rzutowanie zmiennej losowej gaussa zachowa niezależność?

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

robin girard

Srikant ma rację. Jeśli pytanie dotyczy „średniej próby i wariancji”, wówczas odpowiedź brzmi „nie”. Jeśli pytanie dotyczy średniej populacji i wariancji, odpowiedź brzmi: tak; David podaje dobre przykłady poniżej.

Żeby wyjaśnić, miałem na myśli to. Dla rozkładu normalnego średnia

i wariancja

pełni charakteryzuje rozkład, a

nie jest funkcją

. W przypadku wielu innych dystrybucji tak nie jest. Na przykład dla rozkładu dwumianowego mamy średnią

i wariancję

, więc wariancja jest funkcją średniej. Inne przykłady to rozkład gamma z parametrami

(w skali) i

(kształt), przy czym średnia wynosi

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ a wariancja wynosi

, więc wariancja jest w rzeczywistości

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

Wolfgang,

Zastanów się zatem nad zmodyfikowaniem pytania, ponieważ odpowiedź, którą zaznaczyłeś jako preferowaną, nie odpowiada na pytanie w obecnej formie (a druga tak). Obecnie używasz słowa „niezależny” w idiosynkratyczny sposób. Twój przykład z Gamma pokazuje to: można po prostu sparametryzować Gamma pod względem średniej (mu) i wariancji (sigma), ponieważ możemy odzyskać theta = sigma / mu i kappa = mu ^ 2 / sigma. Innymi słowy, funkcjonalna „niezależność” parametrów jest zwykle bez znaczenia (z wyjątkiem rodzin jednoparametrowych).

whuber

Odpowiedzi:

Uwaga: przeczytaj odpowiedź @G. Jay Kerns i zobacz Carlin i Lewis 1996 lub swoje ulubione odniesienie prawdopodobieństwa w celu uzyskania tła na temat obliczania średniej i wariancji jako wartości oczekiwanej i drugiego momentu zmiennej losowej.

Szybki skan Załącznika A w Carlin i Lewis (1996) dostarcza następujących rozkładów, które są podobne pod tym względem do normy, ponieważ te same parametry rozkładu nie są wykorzystywane w obliczeniach średniej i wariancji. Jak wskazał @robin, przy obliczaniu oszacowań parametrów na podstawie próbki, średnia próbki jest wymagana do obliczenia sigma.

Wielowymiarowy Normalny

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t i wielowymiarowy t:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Podwójny wykładniczy:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Cauchy: Z pewnymi zastrzeżeniami można argumentować, że średnia i wariancja Cauchy'ego nie są zależne.

$E(X)$ $Var(X)$

Odniesienie

Carlin, Bradley P. i Thomas A. Louis. 1996. Bayes and Empirical bayes Methods for Data Analysis, 2nd ed. Chapman and Hall / CRC, Nowy Jork

David LeBauer
źródło

W każdej rodzinie o skali lokalizacji średnia i wariancja będą w ten sposób funkcjonalnie niezależne!

whuber

David, podwójny wykładniczy jest doskonałym przykładem. Dzięki! Nie myślałem o tym. Rozkład t jest również dobrym przykładem, ale czy E (X) = 0 i Var (X) = v / (v-2)? Czy Carlin i in. (1996) zdefiniować uogólnioną wersję rozkładu t, który jest przesunięty w jego średniej i skalowany przez sigma ^ 2?

Wolfgang,

Masz rację, rozkład t wydaje się często charakteryzowany ze średnią = 0 i wariancją = 1, ale ogólny pdf dla t podany przez Carlin i Louis wyraźnie zawiera zarówno sigma, jak i mu; parametr nu uwzględnia różnicę między normalną a t.

David LeBauer,

W rzeczywistości odpowiedź brzmi „nie”. Niezależność średniej próbki i wariancji charakteryzuje rozkład normalny. Zostało to pokazane przez Eugene'a Lukacsa w „A Characterization of Normal Distribution”, The Annals of Mathematical Statistics, tom. 13, nr 1 (mar., 1942), s. 91–93.

Nie wiedziałem tego, ale Feller, „Wstęp do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowania, tom II” (1966, str. 86), twierdzi, że RC Geary również to udowodnił.

źródło

@onestop Myślę, że to niefortunny artefakt w moim wieku. Nie jest przesadą stwierdzenie, że książki Fellera zrewolucjonizowały sposób dokonywania prawdopodobieństwa - na całym świecie. Duża część naszej współczesnej notacji zawdzięcza mu. Przez dziesięciolecia jego książki były te książki prawdopodobieństwo badania. Może i tak powinny być. BTW: Dodałem tytuł dla tych, którzy nie słyszeli o jego książkach.

Zadałem

robin girard

Jay, dziękuję za odniesienie do pracy Lukacsa, który ładnie pokazuje, że rozkłady próbkowania średniej próbki i wariancji są niezależne tylko dla rozkładu normalnego. Co do drugiego momentu centralnego, istnieją pewne rozkłady, w których nie jest to funkcja pierwszego momentu (David podał kilka dobrych przykładów).

Wolfgang,

Geary, RC (1936), „Rozkład współczynnika„ studenta ”dla próbek innych niż normalne”, Journal of Royal Statistics Society, Suppl. 3, 178–184.

vqv,